Alguns subconjuntos de

Vamos ilustrar os conceitos revistos sobre para dar exemplos de alguns conjuntos particularmente importantes e caracterizá-los geometricamente. Citaremos várias definições e resultados de Álgebra Linear sem demonstração.

Rectas, planos, subespaços

Dado um vector a recta com a direcção de e passando pela origem, , é o conjunto

Dados vectores a recta com a direcção de e passando por é o conjunto

Dados vectores o segmento de recta unindo a é o conjunto

Dado um vector , unitário, isto é verificando , e um vector , a distância de à recta passando pela origem com a direcção de é ou seja a norma da diferença entre  e a sua projecção sobre a recta.

Exercício. Verifique que a afirmação anterior é coerente com a definição de distância de um ponto a um subconjunto de .

Dado um número finito de vectores de , , o subespaço de gerado por estes vectores é o conjunto

Tal conjunto é um subespaço vectorial de de dimensão . Se os vectores forem linearmente independentes o espaço gerado tem dimensão e diz-se que os formam uma base desse subespaço. É sempre possível, através do procedimento de Gram-Schmidt, obter, a partir de uma qualquer base de um subespaço de , uma base ortonormada, isto é formada por vectores de norma 1 e ortogonais entre si.

Dados um subespaço de dimensão de com uma base ortonormada e um vector , a projecção de sobre é

Exercício. Verifique que a distância de um ponto a um subespaço , nas condições descritas atrás, é . Este exercício generaliza o anterior.

Se adicionarmos um vector fixo a todos os elementos de um subespaço vectorial de dimensão obtemos um subespaço afim do espaço vectorial que diremos também de dimensão . Aos subespaços afins de dimensão em chamaremos rectas, aos subespaços afins de dimensão chamaremos planos e aos subespaços de dimensão chamaremos hiperplanos.

Exemplo. O conjunto é um subespaço afim de dimensão em que geometricamente designamos como um plano. Uma maneira prática de visualizar este plano é notar que as suas intersecções com os eixos coordenados são os pontos , , .

Superfícies

Iremos considerar subconjuntos de que têm, perto de cada um dos seus pontos e num sentido a precisar quando estudarmos variedades, o carácter de um subespaço afim “deformado” de dimensão com .

Dado e a esfera de raio centrada em é o conjunto

Dado um vector , unitário, isto é verificando , e um número real , o cilindro cujo eixo é a recta que passa por com a direcção de e com raio em é dado por No caso particular de , e a equação do cilindro seria

De forma análoga, se a norma de não for constante, mas tiver outro tipo de comportamento, podemos obter outras superfí­cies, que já devem ser familiares, em . Por exemplo se for proporcional a obtemos um cone. Mais precisamente se for a constante de proporcionalidade

Obtemos um parabolóide de forma análoga com

Obtemos um hiperboloide (de revolução) se considerarmos O hiperboloide terá uma ou duas folhas (a razão destas designações deve ser óbvia olhando para as figuras) consoante o sinal no segundo membro da igualdade.

Bolas

Introduzimos notação especial para conjuntos que designaremos como bolas, abertas ou fechadas, por omissão abertas, em .

Definição (Bola (aberta), bola fechada). A bola (aberta) de raio e centrada em é o conjunto

De forma análoga a correspondente bola fechada é o conjunto

Note-se que .

A importância destes conjuntos resulta de os dois primeiros irem desempenhar o papel das vizinhanças de um ponto de ao generalizarmos as noções de limite, continuidade, etc. A nomenclatura e notação serão coerentes com o que faremos quando introduzirmos noções topológicas em .

Definição (Conjunto limitado). Um subconjunto de diz-se limitado se existir uma bola que o contém.

Exercício. Mostre que uma caracterização equivalente de conjunto limitado é existir uma bola centrada em que o contém.

A acção de translações e transformações lineares sobre subconjuntos de

Um tema recorrente ao lidarmos com subconjuntos de será utilizar aplicações de em particularmente simples para relacionar conjuntos conhecidos com outros. Os dois exemplos mais simples de tal prática correspondem a translações e transformações lineares com ênfase nalguns casos particulares destas últimas como rotações ou homotetias.

A translação por um vector é a aplicação

Note que se um conjunto é descrito na forma para alguma função então o seu transladado por tanto pode ser descrito por ou

Por exemplo, se transladarmos o parabolóide descrito por pelo vector obtemos o parabolóide descrito por .

Se for uma transformação linear invertível será frequente, dado um subconjunto de caracterizado por , considerar o transformado ou . Casos particularmente frequentes correspondem a ser uma homotetia ( para algum ), ser representado por uma matriz diagonal, ou ser uma rotação, isto é, ter a sua transposta como inversa e determinante (, ).

A última figura ilustra estas transformações começando com uma circunferência de raio centrada em que é transformada sucessivamente numa elipse de semi-eixos de comprimento e , paralelos às bissectrizes dos quadrantes do plano e centrada em .

Exercício. Determine as transformações usadas para obter as equações na figura Círculo e elipses.

Exercício. Verifique, a partir da definição de rotação, que todas as rotações no plano são representadas por matrizes reais da forma para algum . Fim de enunciado de exercício.

Para compreender rotações em um primeiro passo talvez deva ser o

Teorema (Euler). Seja uma rotação em com ímpar. Então existe um vector de tal que .

Ideia da demonstração. Sendo a aplicação linear identidade, tente mostrar que e consequentemente um valor próprio de é , o que implica a conclusão.

Assim, as rotações em são rotações em torno de um eixo.