Definição (Derivadas parciais de segunda ordem e ordem superior). Seja \(f:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) uma função que possui derivadas parciais de primeira ordem num aberto contido em \(A\). Se as funções derivadas parciais de \(f\) tiverem derivadas parciais a estas chamaremos derivadas parciais de segunda ordem de \(f\) com a notação \[\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}= \frac{\partial }{\partial x_i}\left( \frac{\partial f }{\partial x_j}\right).\] Mais geralmente definiremos recursivamente derivadas parciais de ordem superior recursivamente recorrendo à mesma ideia. Usaremos abreviaturas \(\partial x_i \partial x_i = \partial x_i^2\), \(\partial x_i \partial x_i \partial x_i = \partial x_i^3\), etc.

Exemplo. Consideremos \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x,y)=x^2 y^3\). Temos \begin{align*}\frac{\partial f}{\partial x} & = 2xy^3 \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= 3x^2 y^2 \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} &= 2 y^3 \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \,\partial x} &= 6 x y^2 \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y} &= 6 x y^2 \\  \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} &= 6 x^2 y \\  \frac{\partial^3 f}{\partial x^3} &= 0 \\  \dots & \\ \frac{\partial^3 f}{\partial x \,\partial y^2} &= 12 x y \\ \dots & \end{align*} Fim de exemplo.

Exemplo. Considere a função \(g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por \[g(x,y)=\begin{cases} x y \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & \text{ se } (x,y)\neq (0,0), \\ 0, & \text{ se } (x,y)=(0,0). \end{cases}\] Temos (verifique os cálculos) \[ \begin{align*} \frac{\partial g}{\partial x}(0,y) & = -y  \\ \frac{\partial g}{\partial y}(x,0) & = x \\ \end{align*}\] pelo que \[\frac{\partial^2 g}{\partial x\, \partial y}(0,0)=1\neq -1 = \frac{\partial^2 g}{\partial y\, \partial x}(0,0) \] Fim de exemplo.

Teorema (da igualdade de derivadas cruzadas ou de Schwarz). Seja \(f:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\), com \(A\) um conjunto aberto, uma função tal que as suas derivadas parciais de ordem menor ou igual a \(2\) existem e são contínuas em \(A\). Então \[\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} \] em \(A\) para todos os \(i,j=1,\dots,n\).

Definição (Funções de classe $C^k$). Diremos que uma função que possui derivadas parciais contínuas até à ordem \(k\in\mathbb{N}\), \(k\geq 1\), num aberto \(A\), pertence à classe \(C^k(A)\). Se tal acontecer para todo o \(k\in\mathbb{N}\), \(k\geq 1\), diremos que pertence à classe \(C^\infty(A)\). De forma análoga ao que fizemos para classe $C^1$, diremos que uma função é de classe $C^k$ num conjunto não aberto se existir uma extensão da função a um aberto contendo o conjunto aonde a extensão é de classe $C^k$. Aproveitamos também para convencionar que classe $C^0(S)$, sendo $S$ aberto ou não, refere-se às funções contínuas no conjunto $S$.

Demonstração do teorema.

Não há perda de generalidade se considerarmos \(n=2\) e \(m=1\). Sejam \((x,y)\in A\) e \(h, k>0\) tais que \(B_{\sqrt{h^2+k^2}}(x,y)\subset A\) e definimos \[\Delta(h,k)= \frac{1}{hk} \left(f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+f(x,y)\right).\]

Se escrever a definição de uma qualquer das derivadas parciais cruzadas como um limite de uma razão incremental e cada uma das derivadas parciais que aí aparecem como um limite de uma razão incremental obterá \[\lim_{h\to 0}\lim_{k\to 0}\Delta(h,k) \] ou \[\lim_{k\to 0}\lim_{h\to 0}\Delta(h,k) \] A demonstração vai basear-se em mostrar que existe o limite bidimensional $\lim_{(h,k)\to(0,0)}\Delta(h,k)$ e que este tanto é igual a $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x, y)$ como a $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x, y)$.