Diferenciabilidade

Teorema de Lagrange

Em secções anteriores relativas a funções de classe $C^k$ usámos o teorema de Lagrange para estimar diferenças de valores de uma função entre dois pontos distintos. Neste caso os dois pontos só se distinguiam numa coordenada o que permitiu usar o teorema conhecido para funções reais de variável real. Realizar estimativas para diferenças de valores de funções em pontos distintos à custa de um produto entre a "distância" entre os pontos e um majorante de uma quantidade que só depende da derivada da função num conjunto conveniente é um tema recorrente em Análise Matemática. Vamos generalizar o teorema de Lagrange de maneira a tornar possível essa e outras aplicações.

Para funções vectoriais primeiro notamos que a formulação de Lagrange tendo como conclusão uma igualdade similar à do caso escalar não é possível.

Vamos então concentrar-nos em formulações alternativas que permitem estabelecer o tipo de estimativas em que estamos interessados. Começamos por estabelecê-las no caso escalar. Do teorema e da desigualdade de Cauchy-Schwarz obtém-se facilmente:

Vai ser este o tipo de resultado que vamos generalizar para termos um teorema do valor médio para funções vectoriais. A ideia de base para obtê-lo é a mesma. Consideramos uma função escalar auxiliar a que aplicamos o teorema de Lagrange. Seja \(\boldsymbol{a} \in \mathbb{R}^m\) um vector a escolher posteriormente e \(F:A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) uma função diferenciável, \(A\) um aberto, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\in A\), \(L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\subset A\). Define-se \(g(t)=\boldsymbol{a}\cdot F(\boldsymbol{x}+t(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}))\). Aplica-se o teorema de Lagrange a \(g\) no intervalo \([0,1]\) para obter que existe \(\theta\in{\left]0,1\right[}\) tal que \[\boldsymbol{a}\cdot(F(\boldsymbol{y})-F(\boldsymbol{x}))=\boldsymbol{a}\cdot (DF(\boldsymbol{x}+\theta(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}))(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})).\] Tomando \(\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{y})-F(\boldsymbol{x})\), aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz e estimando a imagem de uma aplicação linear por um vector de forma análoga ao que já fizemos atrás, obtém-se uma estimativa da forma pretendida

Uma estimativa mais explícita, não envolvendo determinar o supremo dos valores de uma aplicação linear mas sim o supremo de derivadas parciais, também é possível.

No caso de $F\in C^1(A)$ com $A$ aberto e aplicando o teorema de Weierstrass aplicado às derivadas parciais de $F$ obtém-se

Corolário (Funções $C^1$ são localmente lipschitzianas). Seja $A\subset\mathbb{R}^n$ um aberto e $F:A\to \mathbb{R}^m$ tal que $F\in C^1(A)$. Então para cada limitado e fechado $\omega\subset A$ existe $C(\omega)\gt 0$ tal que \[\left\|F(\boldsymbol{x})-F(\boldsymbol{y})\right\|\leq C(\omega) \|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|.\]

No título do corolário usámos uma designação usada em Análise Matemática para funções verificando este tipo de desigualdades. Em geral:

Definição (Funções lipschitzianas). Seja $F:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ uma função tal que existe $C\gt 0$ verificando \[\left\|F(\boldsymbol{x})-F(\boldsymbol{y})\right\|\leq C \|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|\] para todos os $\boldsymbol{x},  \boldsymbol{y}\in A$. Então $F$ diz-se lipschitziana em $A$ e $C$ é designada por constante de Lipschitz de $F$.

Note que a constante de Lipschtz de $F$ não é única. De facto determinar a melhor, isto é, a menor constante de Lipschiz possível é, em geral, um problema não trivial.

Definição (Funções localmente lipschitzianas). Seja $F:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ uma função tal que para cada $\omega\subset\mathbb{R}^n$ limitado e fechado existe $C(\omega)\gt 0$ verificando \[\left\|F(\boldsymbol{x})-F(\boldsymbol{y})\right\|\leq C(\omega) \|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|\] para todos $\boldsymbol{x},  \boldsymbol{y}\in A\cap \omega$. Então $F$ diz-se localmente lipschitziana em $A$ e $C(\omega)$ é uma constante de Lipschitz relativa $F$ em $A\cap \omega$.

Exercício. Justifique que $\mathbb{R}\ni x\mapsto x^2$ é localmente lipschiziana mas não é lipschitziana.

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