Registo de alterações

Esta página colige as alterações mais importantes no texto realizadas a partir do 2º semestre de 2015/16.

2016/02

• Notas e exemplos opcionais sobre espaço vectorial, normado, com produto interno,... em /texto/1

2016/03

• Exercício do cálculo do volume de um tetraedro em $\mathbb{R}^n$ movido de uma ficha para o texto.
• Início da utilização de vídeo obtido a partir de animações em sage para sugerir a obtenção de cortes ao determinar limites de integração.
• Recapitulação da fórmula de Taylor para funções reais de variável real em /texto/17

2016/04/01

• Acrescentado um cálculo de limite no infinito em que a função não tem simetria radial. /texto/7#exemplo7ultimo
• Removido enunciado de exercício sem sentido após o estudo da função $f(x,y)=e^{y^2}+x^2 +\frac{xy^3}{2}$. Substituído por novo exercício sobre extremo absoluto que é aplicável àquela função e usa o limite mencionado na alteração anterior.

2016/04/19

• Acrescentados comentários sobre a noção de volume $n$-dimensional, como se procede ao seu cálculo, a sua relação com a noção de integral, e a relação com o cálculo de áreas efectuado por aplicação da integração de funções reais de variável real.
• Nova subsecção sobre volumes que engloba os comentários anteriores e exemplos, já presentes no texto, de cálculos de volumes não triviais.

2016/05/05

• Figura corrigida. Um $2$ e um $4$ estavam trocados.

2016/06/02

• Adicionado exemplo relativo a um teorema de Liouville em Mecânica dos Meio Contínuos.

2017/01

• Exercício sobre integrabilidade das funções monótonas.

2017/03/26

• Sugestão de exercício sobre generalização da regra de Leibniz torna mais explícita a ligação com o resultado de $C^1$ implicar diferenciabilidade aproximando do que foi explicado em aula.

2017/04/13

• Corrigidos sinais de $\geq$ e $\leq$ que se encontravam trocados nas definições de máximo e mínimo.

2017/05/06

• Novos exemplos de mudanças de variáveis lineares e cáĺculo do volume da bola $n$-dimensional usando coordendas polares para estabelecer uma fórmula de recorrência.

2017/05/19

• Melhorias numa animação.

2017/05/24

• Correcções várias desde formatação a uma expressão errónea na secção correspondente a homotopia e invariância de integrais de linha de campos fechados entre caminhos homotópicos. A indicação de opcional foi removida.

2017/06/03

• Integração de alguns tópicos relativos a aplicações dos teoremas de Gauss e Stokes mencionados nas aulas em 2017: fórmulas de Green,...

2017/06/06

• Gralhas várias corrigidas num exemplo relativo ao teorema da função implícita.

2017/07/02

• Adicionado um exemplo sobre extremos em pontos interiores envolvendo três pontos de estacionaridade um dos quais não é classificável usando métodos de segunda ordem.
• Incluído exercício opcional sobre classificação de pontos de estacionaridade em que o primeiro termo não nulo de ordem maior que zero da fórmula de Taylor é uma forma semidefinida e a análise de termos de ordem superior ainda permite tirar conclusões.

2017/07/23

• As animações 3d estão a ser refeitas assinalando as direcções dos eixos coordenados e usando convenções mais consistentes.
• Passou a ser possível ter mais do que uma animação 3d por página.

2018/02

• incluídos complementos sobre convergência uniforme e séries de potências. A rever, em particular, a ligação à série de Taylor.

2018/05/25

• Solução fundamental do laplaciano por aplicação das fórmulas de Green incluído como exemplo.

2019/01/01

• Gráficos estáticos substituídos por animações Jmol em /texto/7

2020/02/10

• Inclusão de hiperbolóides como superfícies de revolução em /texto/2

2020/02/17

• MathJax actualizado para a versão 3.0.1.
• Adopção de three.js em vez de jmol. Isto implicou o refazer de inúmeras animações. Há anomalias de three.js que serão assinaladas quando relevante.