Integração de funções limitadas em limitados de \(\mathbb{R}^n\)

Para definirmos o integral de funções limitadas em limitados de \(\mathbb{R}^n\) seguimos um caminho que se vai revelar extraordinariamente semelhante ao que fez em dimensão \(1\) e que nos irá conduzir a um método de cálculo de integrais por cálculo sucessivo de integrais em intervalos de \(\mathbb{R}\). Poderá querer rever os conceitos básicos da integração de funções reais de variável real.

De momento iremos ignorar parcialmente o problema de caracterizar que funções são integráveis embora fiquemos com uma ideia razoável do que se irá passar a este respeito usando a definição de integral. Voltaremos a este problema quando estudarmos continuidade de funções de mais de uma variável real.

Definição de integral

Seja \(f:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) uma função limitada com \(A\) um conjunto limitado. Pretendemos definir sob que condições existe um integral de \(f\) em \(A\) e qual o seu valor. Vamos fazê-lo de maneira a incluir o caso já estudado com \(n=1\).

Começamos por convencionar o que se entende por um intervalo limitado e fechado de \(\mathbb{R}^n\). Será simplesmente o produto cartesiano de \(n\) intervalos limitados e fechados de \(\mathbb{R}\). Por exemplo \begin{align*}I&=[0,1]\times[1,\sqrt{2}]\times[0,2]\\&=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: 0\leq x\leq 1, 1\leq y\leq \sqrt{2}, 0\leq z \leq 2\right\}\end{align*} é um intervalo limitado e fechado de \(\mathbb{R}^3\). Se \(I=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \dots \times [a_n,b_n] \) definimos o volume \(n\)-dimensional de \(I\) como sendo \(\operatorname{vol}(I)=(b_1-a_1)(b_2-a_2)\dots(b_n-a_n)\). No caso do exemplo o volume \(3\)-dimensional de \(I\) é \(2(\sqrt{2}-1)\).

No caso de \(A\) não ser um intervalo definimos que o estudo da integrabilidade da função \(f\) em \(A\) corresponde ao estudo da integrabilidade de \(f^\ast\) em \(I\) em que \(I\) é o "menor" intervalo limitado e fechado contendo \(A\), ou, de uma maneira mais precisa mas menos sugestiva, a intersecção de todos os intervalos limitados e fechados contendo \(A\), e \(f^\ast\) é o prolongamento por \(0\) de \(f\) a \(I \setminus A\). Referirmo-nos-emos a \(f^\ast\) como o prolongamento trivial de \(f\) a \(I\). [Note que se prolongássemos $f$ por $0$ a outro intervalo limitado e fechado contendo $A$, o integral do prolongamento nesse intervalo teria exactamente o mesmo valor. Omitimos a demonstração deste facto.]

Dado um intervalo limitado e fechado \(I=I_1\times I_2\times\dots I_n\) de \(\mathbb{R}^n\) definimos uma partição de \(I\) como um produto cartesiano de partições de cada um dos \(I_k\) com \(k=1,\dots, n\). Relembramos que uma partição de um intervalo limitado e fechado \(J=[a,b]\) de \(\mathbb{R}\) é simplesmente um subconjunto finito de pontos do intervalo incluindo os extremos e que por conveniência expressamos como \(\{x_0=a, x_1, \dots, x_p=b\}\), com \(x_j\leq x_{j+1}\) para todo o \(j\), e em que \(p+1\) é o número de pontos da partição (que depende da partição mas é finito). O conjunto de todas as possíveis partições de \(I\) será designado \(\mathcal{P}(I)\).

Observamos que uma partição permite exprimir de uma forma natural um intervalo limitado e fechado \(I\) como uma união de subintervalos limitados e fechados deste cujas intersecções 2 a 2 são intervalos limitados e fechados com volume \(n\)-dimensional nulo e cuja soma de volumes é o volume de \(I\). Mais precisamente usando as convenções estabelecidas atrás \[\begin{gather*}I=\bigcup_{j_1,j_2,\dots,j_n}I_{j_1,j_2,\dots,j_n}, \\ I_{j_1,j_2,\dots,j_n}=[x_{j_1},x_{j_1+1}]\times [x_{j_2},x_{j_2+1}]\times\dots [x_{j_n},x_{j_n+1}], \\ \sum_{j_1,j_2,\dots,j_n} \operatorname{vol}(I_{j_1,j_2,\dots,j_n})=\operatorname{vol}(I).\end{gather*}\] À parte uma notação um pouco mais pesada, devido a lidarmos com múltiplos índices, isto é análogo ao que acontecia em dimensão $1$. Para iludirmos os problemas notacionais convencionamos designar por \(\alpha\) um multi-índice \((j_1,j_2,\dots,j_n)\) escrevendo \(I=\cup_\alpha I_\alpha\), etc., deixando a notação com índices explícitos coordenada a coordenada para as raríssimas ocasiões em que calcularemos um integral usando a definição.

Definimos como para o caso unidimensional as somas de Darboux, respectivamente superior e inferior, de \(f\) relativamente à partição \(P\) \[\begin{align*}S(f,P) & =\sum_\alpha \sup_{I_\alpha}f \operatorname{vol}(I_\alpha), \\ s(f,P) & =\sum_\alpha \inf_{I_\alpha}f \operatorname{vol}(I_\alpha), \end{align*}\] e os integrais superior e inferior de \(f\) em \(I\) \[\begin{align*}  \overline{\int_I }f & = \inf_{P\in\mathcal{P}(I)}S(f,P), \\ \underline{\int_I }f & = \sup_{P\in\mathcal{P}(I)}s(f,P).\end{align*} \] Uma função diz-se integrável se o integral inferior e o integral superior coincidirem e o valor comum designa-se integral de \(f\) em \(I\), denotado \(\int_I f\) (ou \(\iint_I f\), ou \(\iiint_I f\) se quisermos acentuar o carácter bi ou tridimensional do integral).

Exemplo. Para fixarmos ideias sobre a definição de integral convém considerar um exemplo simples mas não totalmente trivial. Suponhamos que queremos integrar a função constante e igual a \(3\) no triângulo \(T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\geq 0, y\geq 0, x+y\leq 4\}\). Primeiro começamos por notar que isto corresponde a integrar em \([0,4]^2\) a função que vale \(3\) em \(T\) e \(0\) em \([0,4]^2\setminus T\). Se considerarmos a partição \(P\) formada por todos os pontos cujas coordenadas são inteiros \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), ou \(4\) (ver figura) verificamos que \[\begin{align*}s(f,P)&=18, \\ S(f,P)&=30.\end{align*}\] A diferença entre a soma inferior e a soma superior deve-se ao ínfimo e supremo do prolongamento trivial de \(f\) serem distintos em \([0,1]\times[3,4]\), \([1,2]\times[2,3]\), \([2,3]\times[1,2]\), e \([3,4]\times[0,1]\). Não deve ter dificuldades em conceber uma estratégia de bissecções sucessivas destes intervalos que mostrasse que o integral inferior e o integral superior, e consequentemente o integral, são iguais a \(24\), o que corresponde ao produto da área do triângulo \(T\) pelo valor da função.

Exemplo. Para obter um exemplo de uma função não integrável num intervalo de \(\mathbb{R}^2\) podemos adaptar um exemplo já conhecido em dimensão \(1\). Defina-se \(g:[0,1]^2\to \mathbb{R}\) via \[g(x,y)=\begin{cases}1,& \text{ se } x\in\mathbb{Q} \text{ ou } y\in\mathbb{Q}, \\ 0, & \text{ caso contrário.}\end{cases}\] Para esta função descobrimos que qualquer que seja a partição \(P\in\mathcal{P}\left([0,1]^2\right)\) temos \(s(g,P)=0\) e \(S(g,P)=1\) pelo que o integral inferior e o integral superior não coincidem.

Propriedades do integral

O facto de termos estendido o conceito de integral a funções reais de várias variáveis reais de uma forma análoga ao já conhecido para funções de uma variável real torna praticamente imediato estabelecer um número de propriedades elementares que se citam aqui sem demonstração.

Proposição (Integração e relação de ordem). Suponha-se que \(S\subset\mathbb{R}^n\) é um conjunto limitado e \(f,g:S\to \mathbb{R}\) são funções integráveis com \(f\geq g\). Então \(\int_S f\geq \int_S g\).

Proposição (Linearidade do integral). Suponha-se que \(S\subset\mathbb{R}^n\) é um conjunto limitado. Então o conjunto das funções integráveis em \(S\) é um espaço vectorial e o integral é um funcional linear nesse espaço.

Proposição (Integral e módulo). Suponha-se que \(S\subset\mathbb{R}^n\) é um conjunto limitado e que \(f:S\to \mathbb{R}\) é uma função integrável. Então são integráveis em \(S\) as funções \(f^+=\max(0,f)\), \(f^-=\max(0,-f)\) e \(|f|\) com \[\left|\int_S f\right|\leq \int_S \left|f\right| = \int_S (f^+ + f^-)\]

Proposição (Aditividade relativamente ao domínio de integração).  Suponha-se que \(S_1, S_2 \subset\mathbb{R}^n\) são conjuntos limitado disjuntos e que \(F:S_1\cup S_2\to \mathbb{R}\) é tal que as suas restrições a \(S_1\) e \(S_2\) são integráveis. Então \(f\) é integrável em \(S_1 \cup S_2\) com \[\int_{S_1 \cup S_2}f= \int_{S_1}f + \int_{S_2}f.\]

Algumas observações sobre integrabilidade

Algo que virá a ser necessário mas que não analisaremos imediatamente é a formulação de um critério de integrabilidade de uma função. De momento temos como único critério a definição de integral mas que facilmente reformulamos numa das seguintes formas.

Proposição. Uma função \(f:I\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\), com \(I\) um intervalo limitado e fechado, é integrável se e só se para cada \(\epsilon>0\) existir uma partição \(P\in\mathcal{P}(I)\) tal que \(S(f,P)-s(f,P)<\epsilon\).

Ideia da demonstração. É uma consequência fácil das definições de supremo e ínfimo e do facto de termos sempre \(S(f,P_1)>s(f,P_2)\) para quaisquer duas partições \(P_1, P_2\in\mathcal{P}(I)\) (prove este facto). Fim da ideia de demonstração.

Se introduzirmos o conceito de oscilação de uma função \(f\) num conjunto \(A\neq \emptyset\) como sendo a diferença entre o supremo e o ínfimo da função em \(A\), que designaremos por \({\operatorname{osc}}_A f\), podemos reformular a condição anterior como

Corolário. Uma função limitada \(f:I\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\), com \(I\) um intervalo limitado e fechado, é integrável se e só se para cada \(\epsilon>0\) existir uma partição \(P\in\mathcal{P}(I)\) tal que \(\sum_\alpha \operatorname{osc}_{I_\alpha}f\operatorname{vol}(I_\alpha)<\epsilon\).

Esta última condição deverá dar-nos desde já a ideia de que para uma função ser integrável o volume \(n\)-dimensional do conjunto de pontos do domínio perto dos quais a oscilação da função não é controlável deve ser pequeno. Uma formulação precisa desta frase terá que aguardar o estudo da continuidade de funções de mais de uma variável e daquilo que designaremos como medida \(n\)-dimensional nula.