Continuidade global

Teorema de Weierstrass

O teorema de Weierstrass é o primeiro exemplo de teorema de continuidade global (outros serão o teorema do valor intermédio e o teorema de Heine-Cantor, todos tendo em comum lidarem com continuidade de funções em conjuntos com certas propriedades topológicas, ao contrário de outros resultados que vimos até ao momento que lidam com continuidade "ponto a ponto") que analisamos no contexto das funções de mais de uma variável real.

O teorema de Weierstrass garante que uma função contí­nua transforma conjuntos limitados e fechados em conjuntos limitados e fechados. Isto tem consequências importantes nomeadamente em problemas de optimização, mais precisamente na garantia de existência de pontos de máximo e mínimo de uma função com valores reais.

O ingrediente técnico essencial para a justificação do teorema de Weierstrass na forma que vamos considerar, baseada na caracterização de Heine de continuidade, é a caracterização dos limitados e fechados em termos de sucessões.

Teorema (caracterização dos limitados e fechados via sucessões). \(S\subset \mathbb{R}^n\) é limitado e fechado se e só se dada uma qualquer sucessão de termos em \(S\) esta possuir uma subsucessão convergente para um ponto do conjunto.

A estratégia da demonstração consiste em provar que uma sucessão no contradomínio da função verifica a caracterização de limitados e fechados via sucessões. Isso envolverá considerar os pontos no domínio correspondentes, aí­ extrair uma subsucessão convergente para um ponto do domí­nio e voltar ao contradomí­nio via critério de Heine.

Teorema (Weierstrass). Seja \(F:S\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) uma função contí­nua em que \(S\) é um conjunto limitado e fechado. Então o contradomí­nio de \(F\) é limitado e fechado.

Demonstração. Seja \((\boldsymbol{y}_k)_{k\in\mathbb{N}}\) uma sucessão no contradomínio de \(F\). Então, para cada \(k\in \mathbb{N}\) existe um \(\boldsymbol{x}_k\in S\) tal que \(F(\boldsymbol{x}_k)=\boldsymbol{y}_k\). Como \(S\) é limitado e fechado a sucessão de termo geral \(\boldsymbol{x}_k\) vai possuir uma subsucessão convergente, \((\widetilde{\boldsymbol{x}}^\ast_k)\),  para um ponto de \(S\), \(\boldsymbol{x}^\ast\). Mas então, pelo critério de continuidade de Heine, também \(F(\widetilde{\boldsymbol{x}}^\ast_k)\to F(\boldsymbol{x}^\ast)\). Como a sucessão $(F(\widetilde{\boldsymbol{x}}^\ast_k))$ é uma subsucessão da sucessão que considerámos originalmente e converge para um ponto do contradomí­nio, a caracterização dos limitados e fechados permite-nos concluir que \(F(S)\) é limitado e fechado. Fim de demonstração.

Ilustramos a seguir com um exemplo uma aplicação do teorema de Weierstrass à busca de extremos de funções que generaliza raciocí­nios já empregues em problemas semelhantes relativos a funções reais de variável real. Este exemplo também ilustra algumas das técnicas que desenvolveremos no cálculo diferencial de funções de várias variáveis reais. O protótipo em dimensão \(1\) da situação que vamos analisar corresponderia a termos uma função real de variável real definida, contí­nua num intervalo limitado e fechado, diferenciável e positiva no interior do intervalo, nula nos extremos dos intervalos. O teorema de Weierstrass garante que, para essa função, existe um ponto de máximo absoluto que ocorre no interior do intervalo. Uma maneira de tentar localizar esse ponto seria diferenciar a função e determinar os pontos de derivada nula. O exemplo seguinte generaliza esta ideia a uma função real de duas variáveis reais.

Exemplo. Seja \(f:T\subset \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) com \(T=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x\geq 0, y\geq 0, x+y\leq 1\}\) e \(f(x,y)=x^2 y^3(1-x-y)\).

Note-se que \(\operatorname{int} T= \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x\gt 0, y\gt 0, x+y\lt 1\}\) e que \(\partial T = T\setminus \operatorname{int} T\). Temos \(f\gt 0\) em \(\operatorname{int} T\)  e \(f=0\) em \(\partial T\). Dado \(T\) ser obviamente limitado e fechado e \(f\) contínua em \(T\) podemos garantir que existem pontos de máximo e mí­nimo absoluto de \(f\). São pontos de mí­nimo absoluto todos os pontos de \(\partial T\), sendo o mí­nimo absoluto \(0\). Sobre eventuais pontos de máximo absoluto, sem uma análise adicional só podemos garantir que ocorrem algures em \(\operatorname{int} T\).

Para tentar localizar um ou mais pontos de extremo absoluto observamos que se \((x_0,y_0)\) for um ponto de extremo absoluto as funções reais de variável real que correspondem a restringir \(f\) a segmentos "horizontais" ou "verticais", \(t\mapsto f(t,y_0)\) e \(t\mapsto f(x_0,t)\) terão pontos de extremo em \(x_0\) e \(y_0\) respectivamente. Daí que uma estratégia razoável seja procurar um zero simultâneo das derivadas de tais funções. Tais derivadas corresponderão ao que mais tarde chamaremos derivadas parciais de \(f\) e que designaremos \(\frac{\partial f}{\partial x}\) e \(\frac{\partial f}{\partial y}\). Note-se que podemos encará-las como derivadas calculadas tomando respectivamente \(y\) e \(x\) como constantes.

Estas considerações conduzem-nos ao sistema de estacionaridade de \(f\): \[\begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x} \equiv 2x y^3(1-x-y) - x^2y^3=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}\equiv 3x^2 y^2(1-x-y) - x^2y^3=0\end{cases}\]

Como não nos interessam soluções do sistema envolvendo \(x=0\) ou \(y=0\) podemos factorizar na primeira equação \(x y^3\) e na segunda \(x^2 y^2\) para considerarmos o sistema linear \[\begin{cases} 2(1-x-y) - x=0 \\ 3(1-x-y) - y=0\end{cases}\]

Este sistema tem uma solução única, \((x,y)=(1/3,1/2)\) que é um ponto do interior de $T$. O teorema de Weierstrass, ao garantir a existência de ponto de máximo absoluto, contribui para podermos afirmar imediatamente que este é ponto de máximo absoluto de \(f\) e portanto \(f(x,y)\leq f(1/3,1/2)\) para todo o \((x,y)\in T\).