Invariância de integrais de linha de campos fechados por homotopia

Esta secção tem como objectivo derivar uma condição suficiente mais forte do que a obtida anteriormente para um campo fechado ser conservativo. A condição que tínhamos envolvia o campo ser fechado num aberto em estrela. Agora vamos estabelecer um resultado mais geral para abertos simplesmente conexos. O conceito de aberto simplesmente conexo vai envolver a definição de caminhos homotópicos num aberto que nos permitirá reduzir a verificação de independência do caminho de um integral de linha à verificação do integral de linha de um certo campo ao longo a fronteira de um intervalo de $\mathbb{R}^2$ ser $0$, algo que irá funcionar graças ao teorema de Green e à hipótese do campo ser fechado. Haverá no entanto uma dificuldade relativa a este argumento que consiste numa exigência de regularidade adicional para a homotopia que, embora ultrapassável, não será aqui justificado. A mesma questão, e basicamente o mesmo argumento, voltarão a ser encontrados quando lidarmos com o teorema de Stokes.

Caminhos homotópicos e abertos simplesmente conexos

O conceito de homotopia é útil para podermos lidar com aquilo que intuitivamente designamos como uma deformação contínua entre caminhos fechados. Para os nossos propósitos basta-nos

Definição (Caminhos fechados homotópicos). Dados $a,b\in\mathbb{R}$ com $a\lt b$ um aberto $A\subset\mathbb{R^n}$ dizemos que dois caminhos fechados $\alpha,\beta:[a,b]\to A$ são homotópicos se existir uma aplicação contínua $h:[0,1]\times [a,b]\to A$ tal que $h(0,t)=\alpha(t)$, $h(1,t)=\beta(t)$ para todo o $t\in [a,b]$ e $h(s,a)=h(s,b)$ para todo o $s\in [0,1]$.

Definição (Aberto simplesmente conexo). Um aberto conexo $A\subset\mathbb{R}^n$ diz-se simplemente conexo se qualquer caminho fechado em $A$ for homotópico a um caminho fechado constante.

Portanto num aberto simplesmente conexo podemos deformar continuamente caminhos fechados de maneira até estes ficarem reduzidos a um ponto.

Exemplo. Uma bola aberta é um conjunto simplesmente conexo. É fácil construir a homotopia na definição de simplesmente conexo. Faça-o!

Teorema (Invariância do integral de um campo fechado entre caminhos fechados homotópicos). Sejam $a,b\in\mathbb{R}$, $a\lt b$, $A\subset\mathbb{R}^n$ um aberto conexo e $F:A\to\mathbb{R}^n$ um campo de classe $C^1(A)$  fechado. Dados dois caminhos fechados homotópicos $\alpha,\beta:[a,b]\to A$, $\alpha([a,b])=L_0$, $\beta([a,b])=L_2$, temos \[\oint_{L_1} F\cdot d\alpha = \oint_{L_1} F\cdot d\beta.\]

Ideia da demonstração. Começamos por considerar que a homotopia satisfaz as condições na definição e, adicionalmente, é uma função de classe $C^2([0,1]\times [a,b])$. Convencionamos também $F=(F_i)_{i=1\dots,n}$ e que as variáveis de $h$ são designadas $s$ e $t$, isto é, escrevemos $h(s,t)$. Então \begin{align*}\oint_{L_0} F\cdot d\alpha &\texttip{=}{definição de integral de linha} \int_a^b F(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)\, dt \\ & \texttip{=}{definição de homotopia} \int_a^b F(h(0,t))\cdot \frac{\partial h}{\partial t}(0,t)\, dt\end{align*}\begin{align*}\oint_{L_1} F\cdot d\beta &= \int_a^b F(\beta(t))\cdot \beta'(t)\, dt \\ & = \int_a^b F(h(1,t))\cdot \frac{\partial h}{\partial t}(1,t)\, dt\end{align*}

Por outro lado considerando o integral de linha do campo $(s,t)\mapsto \psi(s,t)=\left((F\circ h)\cdot \frac{\partial h}{\partial s},(F\circ h)\cdot \frac{\partial h}{\partial t} \right)$ ao longo de $\partial([0,1]\times [a,b])$ uma vez no sentido directo como sugerido na figura, obtemos \[ \int_a^b F(h(0,t))\cdot \frac{\partial h}{\partial t}(0,t)\, dt + \int_0^1  F(h(s,b)) \cdot \frac{\partial h}{\partial s}(s,b)\, ds - \int_a^b F(h(1,t))\cdot \frac{\partial h}{\partial t}(1,t)\, dt - \int_0^1  F(h(s,a)) \cdot \frac{\partial h}{\partial s}(s,a)\, ds.\] Como $h(s,a)=h(s,b)$ para todo o $s\in [0,1]$, também $\frac{\partial h}{\partial s}(s,a)=\frac{\partial h}{\partial s}(s,b)$ para todo o $s\in [0,1]$, donde a soma de integrais anterior reduz-se a \[ \int_a^b F(h(0,t))\cdot \frac{\partial h}{\partial t}(0,t)\, dt - \int_a^b F(h(1,t))\cdot \frac{\partial h}{\partial t}(1,t)\, dt = \oint_{L_0} F\cdot \,d\alpha - \oint_{L_1} F\cdot \,d\beta. \] Mas, aplicando o teorema de Green em $[0,1]\times [a,b]$ ao campo $\psi$, obtemos \begin{align*}\oint_{\partial([0,1]\times [a,b])}\psi \cdot\, d\gamma & \texttip{=}{teorema de Green} \iint_{[0,1]\times [a,b]} \frac{\partial }{\partial s} \left(F(h(s,t))\cdot \frac{\partial h}{\partial t}\right)- \frac{\partial }{\partial t} \left(F(h(s,t))\cdot \frac{\partial h}{\partial s}\right)\, ds\, dt \\ & \texttip{=}{produto interno} \iint_{[0,1]\times [a,b]} \frac{\partial }{\partial s} \left(\sum_{i=1}^n F_i(h(s,t)) \frac{\partial h_i}{\partial t}\right)- \frac{\partial }{\partial t} \left(\sum_{j=1}^n F_j(h(s,t)) \frac{\partial h_j}{\partial s}\right)\, ds\, dt \\ & \texttip{=}{derivação da função composta, produto,...} \iint_{[0,1]\times [a,b]}  \sum_{i,j=1}^n \frac{\partial F_i}{\partial x_j}(h(s,t)) \frac{\partial h_j}{\partial s} \frac{\partial h_i}{\partial t} + \sum_{i=1}^n F_i(h(s,t)) \frac{\partial^2 h_i}{\partial s \partial t} \\ & \qquad - \sum_{i,j=1}^n \frac{\partial F_j}{\partial x_i}(h(s,t)) \frac{\partial h_i}{\partial t} \frac{\partial h_j}{\partial s} - \sum_{j=1}^n F_j(h(s,t)) \frac{\partial^2 h_j}{\partial t \partial s} \, ds\, dt  = 0\end{align*} em que no último passo se usou o facto de $F$ ser fechado e $h\in C^2$.

Assim estabeleceu-se o resultado com a hipótese adicional da homotopia ser de classe $C^2$. O resultado geral segue por um argumento de aproximação de funções contínuas por funções de classe $C^2$ que omitiremos. Fim da ideia da demonstração.

Exemplo.  $\mathbb{R}^2 \setminus\{\boldsymbol{0}\}$ não é simplesmente conexo. Embora possa parecer trivial justificar esta última afirmação elementarmente, tal não é o caso. Uma demonstração simples, mas de facto não elementar, envolve o resultado anterior. Se $\mathbb{R}^2 \setminus\{\boldsymbol{0}\}$ fosse simplesmente conexo um caminho fechado descrevendo uma circunferência centrada em $(0,0)$ seria homotópico a um ponto em $\mathbb{R}^2 \setminus\{\boldsymbol{0}\}$ e portanto o integral de linha do campo fechado $(x,y)\mapsto \left(-\frac{y}{x^2+ y^2}, \frac{x}{x^2+ y^2}\right)$ ao longo desse caminho deveria ser $0$. Um cálculo directo mostra que isso não é verdade. Fim de exemplo.

Exercício. Justifique que, para $n\geq 3$, $\mathbb{R}^n \setminus\{\boldsymbol{0}\}$ é simplesmente conexo.

Notando que qualquer aberto em estrela é simplesmente conexo, temos os ingredientes necessários a melhorar o resultado já conhecido relativo a uma condição suficiente para campos fechados serem conservativos.

Proposição. Seja $S\subset\mathbb{R}^n$ um aberto simplesmente conexo e $F:S\to\mathbb{R}^n$, $F\in C^1(S)$, um campo fechado. Então $F$ é conservativo.

Exercício. Seja $L= \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x=e^t \cos t, y=e^t \sen t, t\in \mathbb{R}\}$. Justifique que o campo $(x,y)\mapsto \left(-\frac{y}{x^2+ y^2}, \frac{x}{x^2+ y^2}\right)$ é conservativo em $\mathbb{R}^2\setminus ( L\cup \{(0,0)\})$.