Definição (Pontos de extremo (absoluto)). Diz-se que $f:A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ tem um máximo (resp. mínimo) num ponto $\boldsymbol{x}_0\in A$, ou que $\boldsymbol{x}_0$ é um ponto de máximo (resp. mínimo) de $f$ se $f(\boldsymbol{x})\leq f(\boldsymbol{x}_0)$ (resp. $f(\boldsymbol{x})\geq f(\boldsymbol{x}_0)$) para todo o $\boldsymbol{x}\in A$.

Definição (Pontos de extremo local). Diz-se que $f:A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ tem um máximo (resp. mínimo) local num ponto $\boldsymbol{x}_0\in A$, ou que $\boldsymbol{x}_0$ é um ponto de máximo (resp. mínimo) local de $f$, se existir $r\gt 0$ tal que a restrição de $f$ a $B_r(\boldsymbol{x}_0)$ tem um máximo em $\boldsymbol{x}_0$, isto é, $f(\boldsymbol{x})\leq f(\boldsymbol{x}_0)$ (resp. $f(\boldsymbol{x})\geq f(\boldsymbol{x}_0)$) para todo o $\boldsymbol{x}\in A\cap B_r(\boldsymbol{x}_0)$.

Proposição. Suponhamos que $f:A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ possui um extremo local num ponto $\boldsymbol{x}_0\in \operatorname{int}A$ e nesse ponto existem e são finitas todas as derivadas parciais de $f$. Então todas essas derivadas parciais são nulas.

Ideia da demonstração. Considere as restrições de $f$ a rectas paralelas aos eixos coordenados passando por $\boldsymbol{x}_0$...

Definição (Sistema e pontos de estacionaridade). Aos pontos interiores do domínio de uma função $f$ como na proposição anterior que satisfazem o sistema $\nabla f=0$ chamamos pontos de estacionaridade (ou pontos críticos) de $f$ e ao sistema designamo-lo como sistema de estacionaridade. Designaremos os pontos críticos que não são pontos de extremo local como pontos de sela.

Teorema (Condição suficiente para extremo num ponto interior). Sejam \(f:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) com \(A\) um aberto, \(f\in C^2(A)\), \(\boldsymbol{x}_0\in A\) tal que \(\nabla f( \boldsymbol{x}_0)=\boldsymbol{0}\). Se a forma quadrática  \(\mathbb{R}^n\ni\boldsymbol{h}\mapsto D^{(2)}_{\boldsymbol{h}}f(\boldsymbol{x}_0)\) for definida positiva (resp. negativa) então \(\boldsymbol{x}_0\) é um ponto de mínimo (resp. máximo) local de \(f\).

Demonstração. Consideramos o caso em que a forma quadrática é definida positiva.

Para mostrar que \(\boldsymbol{x}_0 \) é um ponto de mínimo basta mostrar que existe \(r\gt 0\) tal que se \(\|\boldsymbol{h}\|\lt r\) então $f(\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{h})-f(\boldsymbol{x}_0)\geq 0$. A fórmula de Taylor de segunda ordem para $f$ em torno de $\boldsymbol{x}_0$ permite escrever, para $\boldsymbol{h}$ suficientemente pequeno, \[\begin{equation}\frac{1}{\|\boldsymbol{h}\|^2} \left(f(\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{h})-f(\boldsymbol{x}_0)\right)=\frac{1}{2\|\boldsymbol{h}\|^2} D^{(2)}_{\boldsymbol{h}}f(\boldsymbol{x}_0) + \frac{1}{\|\boldsymbol{h}\|^2} \mathcal{E}^{(2)}_f(\boldsymbol{x}_0;\boldsymbol{h}) \label{formula_Taylor_2}\end{equation}\] em que \(\mathcal{E}^{(2)}_f(\boldsymbol{x}_0;\boldsymbol{h})\) designa o resto de segunda ordem da fórmula de Taylor.

Como a derivada dirigida de segunda ordem é um polinómio homogéneo em \(\boldsymbol{h}\) temos \[\frac{1}{\|\boldsymbol{h}\|^2} D^{(2)}_{\boldsymbol{h}}f(\boldsymbol{x}_0)= D^{(2)}_{\frac{\boldsymbol{h}}{\|\boldsymbol{h}\|}}f(\boldsymbol{x}_0)\] o que permite observar que, para minorar a primeira parcela do segundo membro de ($\ref{formula_Taylor_2}$), basta fazê-lo quando \(\boldsymbol{h}\) é um vector unitário. Como o conjunto de todos os vectores unitários é um limitado e fechado e uma forma quadrática é uma função contínua, o teorema de Weierstrass permite garantir que a primeira parcela do segundo membro de ($\ref{formula_Taylor_2}$) é minorável por um número positivo, designemo-lo por \(m\). [Em vez de usar o teorema de Weierstrass é possível usar exclusivamente um argumento de Álgebra Linear do estudo das formas quadráticas para estabelecer que se pode tomar como minorante o menor dos valores próprios da matriz hessiana associada que, sendo a forma quadrática definida positiva, é positivo.]

Notando agora que a segunda parcela do segundo membro de ($\ref{formula_Taylor_2}$) tende para \(0\) quando \(\boldsymbol{h}\to \boldsymbol{0}\), e portanto existirá \(r\gt 0\) tal que, para \(\|\boldsymbol{h}\|\lt r\), o seu valor tem módulo inferior a \(m/2\), verificamos que para tal \(r\) satisfazemos o pretendido. Fim de demonstração.

Exemplo. Consideremos \(f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) definida por \(f(x,y)=e^{y^2}+x^2 +\frac{xy^3}{2}\) e o problema de determinar os pontos de extremo local de \(f\).

Temos  \[\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x} & = 2x +\frac{y^3}{2} \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = 2y e^{y^2} +\frac{3}{2} x y^2  \end{align*}\] o que conduz ao sistema de estacionaridade \[\begin{cases} 2x +\frac{y^3}{2}  = 0 \\ 2y e^{y^2} +\frac{3}{2}x y^2  = 0\end{cases}\] Da primeira destas equações qualquer ponto de estacionaridade de \(f\) deverá verificar \(x=-\frac{y^3}{4}\). Substituindo este valor de \(x\) na segunda equação obtemos \(16y e^{y^2} -3 y^5=0\). Esta equação tem uma solução \(y=0\), a que portanto corresponderá o ponto de estacionaridade \((0,0)\), e resta saber se não terá outras soluções que deverão satisfazer \(16 e^{y^2} -3 y^4=0\). Usando o desenvolvimento de Taylor da exponencial sabemos no entanto que \(e^{y^2}>1+y^2+\frac{y^4}{2}\) o que nos permite descartar a hipótese de existência de outros pontos de estacionaridade pois então \[16 e^{y^2} -3 y^4 \gt 16+16 y^2+8y^4  -3 y^4 \gt 0.\]

Passamos então à análise do que se passa em \((0,0)\). Temos \(f(0,0)=1\) e \[\begin{align*}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}&= 2 \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}&= \frac{3y^2}{2} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} & = (2+4y^2) e^{y^2} +3x y\end{align*}\] Daí que a matriz hessiana de \(f\) em \((0,0)\) é \[H_f(0,0)=\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\] que define uma forma quadrática definida positiva e consequentemente podemos afirmar que \((0,0)\) é um ponto de mínimo local sendo o mínimo local \(1\). Fim de exemplo.

Exercício. Mostre que o mínimo local do exemplo anterior é um mínimo absoluto. Use \[\lim_{(x,y)\to\infty} f(x,y)=+\infty\] algo que está provado atrás.

Teorema (Condição suficiente para um extremo num ponto interior). Sejam \(f:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) com \(A\) um aberto, \(f\in C^k(A)\), com \(k\) um inteiro positivo, \(\boldsymbol{x}_0\in A\) tal que \(D^{(j)}_{\boldsymbol{h}} f( \boldsymbol{x}_0)=0\) para \(j=1,\dots,k-1\) e \(\boldsymbol{h}\mapsto D^{(k)}_{\boldsymbol{h}} f( \boldsymbol{x}_0)\) é uma forma definida positiva (resp. negativa). Então \(\boldsymbol{x}_0\) é um ponto de mínimo (resp. máximo) local de \(f\).

Exemplo. Consideremos \(g:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) definida por \(g(x,y)=e^{x^4}+x^2y^2 +4y^4\) e o problema de decidir se \((0,0)\) é ou não um extremo local de \(g\). Todas as derivadas parciais de \(g\) de ordem menor ou igual a \(3\) são nulas em \((0,0)\). O termo de quarta ordem da fórmula de Taylor de \(g\) em \((0,0)\) define uma forma de grau \(4\) \[(h,k)\mapsto h^4+h^2k^2+4k^4\] que é definida positiva e consequentemente \((0,0)\) é um ponto de mínimo local de \(g\). [Verifique todas as afirmações neste exemplo.]

Teorema (Condição suficiente para não existência de extremo num ponto interior). Sejam \(f:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) com \(A\) um aberto, \(f\in C^k(A)\), com \(k\) um inteiro positivo, \(\boldsymbol{x}_0\in A\) tal que \(D^{(j)}_{\boldsymbol{h}} f( \boldsymbol{x}_0)=0\) para \(j=1,\dots,k-1\) e \(\boldsymbol{h}\mapsto D^{(k)}_{\boldsymbol{h}} f( \boldsymbol{x}_0)\) é uma forma indefinida. Então \(\boldsymbol{x}_0\) não é um ponto de extremo de \(f\).

Ideia da demonstração. O argumento, ao contrário do que se passava com os resultados anteriores, é essencialmente em dimensão \(1\), bastando considerar a restrição de \(f\) a duas semirectas com origem em \(\boldsymbol{x}_0\) na direcção e sentido de vectores que façam a forma tomar sinais opostos e aplicar a versão unidimensional do teorema de Taylor às funções de \(1\) variável real correspondentes às restrições da função assim definidas. Fim da ideia de demonstração.

Exemplo. Consideremos a função \(h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) definida por \(h(x,y)=e^{xy}+x^4\). Verifica-se facilmente que \((0,0)\) é um ponto de estacionaridade de \(h\) e que o termo de segunda ordem da fórmula de Taylor em \((0,0)\) é a forma quadrática indefinida \((x,y)\mapsto xy\). Consequentemente \((0,0)\) não é um ponto de extremo de \(h\).

Exemplo. Considere a função \(\psi:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}\) definida por $\psi(x,y,z)=\operatorname{sen}(xyz+x^2z)+x^2y^2+x^3z^2$. Verifica-se facilmente que \((0,0,0)\) é um ponto de estacionaridade de \(\psi\) e que os termos de primeira e segunda ordem da fórmula de Taylor em $(0,0,0)$ são nulos e o de terceira ordem é $xyz+x^2z$. Este polinómio é uma forma de grau $3$, portanto indefinida. Assim $(0,0,0)$ não é um ponto de extremo de $\psi$.

Exemplo. Consideremos a função $\phi:\mathbb{R^2}\to \mathbb{R}$ definida por \[\phi(x,y)=\left((x-1)^2+ (y-1)^2\right)(x+1)(y+1).\] Pretendemos estudar esta função quanto à existência de pontos de extremo local. [Note que $\phi$ é um polinómio de quarto grau que é o produto de uma forma quadrática em $x-1$ e $y-1$ e de uma forma quadrática em $x+1$ e $y+1$ o que nos perme suspeitar que dois pontos de extremo são $(1,1)$ e $(-1, -1)$ e nos permitirá analisar a fórmula de Taylor relativa a pontos de estacionaridade de uma forma puramente algébrica.]

O sistema de estacionaridade é \begin{align}\begin{cases}2(x-1)(x+1)(y+1)+\left((x-1)^2+ (y-1)^2\right)(y+1) = 0 \\ 2(y-1)(x+1)(y+1)+\left((x-1)^2+ (y-1)^2\right)(x+1) = 0\end{cases}\label{sistema_estacionaridade:1}\end{align}

Uma possibilidade óbvia para satistazer a primeira equação de ($\ref{sistema_estacionaridade:1}$) é ter $y=-1$. Nesse caso a segunda equação conduz a $x=-1$. Obtivemos portanto um primeiro ponto de estacionaridade: $(-1,-1)$.

Se $(x,y)\neq (-1,-1)$ o sistema de estacionaridade reduz-se a \begin{align}\begin{cases}2(x-1)(x+1)+(x-1)^2+ (y-1)^2= 0 \\ 2(y-1)(y+1)+(x-1)^2+ (y-1)^2 = 0\end{cases}\label{sistema_estacionaridade:2}\end{align}

Subtraindo membro a membro as duas equações de ($\ref{sistema_estacionaridade:2}$) obtemos $2(x-1)(x+1)-2(y-1)(y+1)=0$ o que é equivalente a $x^2= y^2$. Portanto quaisquer soluções adicionais deverão satisfazer $y=\pm x$.

Com $y=x$ a primeira equação de ($\ref{sistema_estacionaridade:2}$) reduz-se a $(x-1)(x+1)+ (x-1)^2=0\Leftrightarrow (x-1)x=0$. Esta última equação tem por solução $x=1$ ou $x=0$. Para cada um destes casos ($\ref{sistema_estacionaridade:2}$) permite obter respectivamente $y=1$ e $y=0$. Obtivemos mais dois pontos de escionaridade: $(x,y)=(1,1)$ e $(x,y)=(0,0)$.

Finalmente o caso $y=-x$ leva, por substituição na primeira equação de ($\ref{sistema_estacionaridade:2}$), a que não existem outros pontos de estacionaridade.

Passamos à análise dos 3 pontos de estacionaridade usando fórmula de Taylor. Note, que devido a estarmos a lidar com um polinómio, determinar a fórmula de Taylor de qualquer ordem de $\phi$ em torno de $(-1,-1)$ , $(1,1)$ e $(0,0)$ pode limitar-se aos cálculos seguintes:

\begin{align*} \phi(x,y) &= \left((x-1)^2+ (y-1)^2\right)(x-1+2)(y-1+2) \\ &= 4(x-1)^2 + 4 (y-1)^2 + 2 (x-1)^3 + 2 (x-1)(y-1)^2 + 2 (x-1)^2 (y-1) \\ & \qquad + 2 (y-1)^3 + (x-1)^3 (y-1) + (x-1)(y-1)^3  \\ \phi(x,y) &= \left((x+1-2)^2+ (y+1-2)^2\right)(x+1)(y+1) \\ &= 8 (x+1)(y+1) -16 (x+1)(y+1)^2-16 (x+1)^2(y+1)+(x+1)^3(y+1)+(x+1)(y+1)^3 \\ \phi(x,y)&= (x^2-2x+1+y^2-2y+1)(xy+x+y+1)\\ &=2-x^2-y^2-2xy+x^3-x^2y-xy^2+y^3+x^3y+xy^3\end{align*} pelo que os termos de segunda ordem da fórmula de Taylor de $\phi$ em torno de $(1,1)$, $(-1,-1)$ e $(0,0)$ são respectivamente \begin{gather*}\frac{1}{2} D^{(2)}_{(x-1,y-1)}\phi(1,1) = 4(x-1)^2 + 4 (y-1)^2 \\ \frac{1}{2} D^{(2)}_{(x+1,y+1)}\phi(-1,-1) =8(x+1)(y+1)\\ \frac{1}{2} D^{(2)}_{(x,y)}\phi(0,0) = -x^2-y^2-2xy =-(x+y)^2 \end{gather*} As formas quadráticas associadas são respectivamente definida positiva, indefinida e semidefinida negativa. Podemos assim afirmar, recorrendo à análise dos termos da fórmula de Taylor até à segunda ordem, que $(1,1)$ é um ponto de mínimo local, $(-1,-1)$ é um ponto de sela, e $(0,0)$ será ou um ponto de máximo local ou um ponto de sela. Fim de exemplo.