Continuidade pontual e limites

Vamos considerar a definição de continuidade, alguns primeiros exemplos e resultados básicos sobre continuidade de funções de \(\mathbb{R}^n\) em \(\mathbb{R}^m\). Conceptualmente estamos numa situação análoga ao que se passava para funções reais de variável mas, no caso do domínio da função ser um subconjunto de $\mathbb{R}^n$ com $n\geq 2$ o estabelecer ou refutar a continuidade num ponto, quando não temos disponível um resultado geral, pode implicar cálculos algo mais sofisticados do que o que era necessário em dimensão $1$.

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A definição de continuidade de funções de \(\mathbb{R}^n\) em \(\mathbb{R}^m\) segue o que é conhecido para funções reais de variável real com as necessárias adaptações relativas aos conceitos relativos a medir distâncias e estabelecer proximidade, módulo e vizinhança, que neste novo contexto serão substituídos por norma e bola.

Definição (continuidade). Seja \(f:A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) e \(\boldsymbol{x}_0\in A\). Diz-se que \(f\) é contínua em \(\boldsymbol{x}_0\) se para todo o \(\epsilon\gt 0\) existir \(\delta\gt 0\) tal que \[\boldsymbol{x}\in B_\delta(\boldsymbol{x}_0)\cap A \Rightarrow f(x)\in B_\epsilon(f(\boldsymbol{x}_0)).\]

A caracterização de continuidade via sucessões, ou à Heine, continua a ser válida com demonstração totalmente análoga à já conhecida e que portanto será omitida.

Proposição (continuidade à Heine). Seja \(f:A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) e \(\boldsymbol{x}_0\in A\). \(f\) é contínua em \(\boldsymbol{x}_0\) se e só se dada uma qualquer sucessão \((\boldsymbol{x}_k)_{k\in\mathbb{N}}\subset A\) tal que \(\boldsymbol{x}_k\to\boldsymbol{x}_0\) então também \(f(\boldsymbol{x}_k)\to f(\boldsymbol{x}_0)\).

É totalmente trivial verificar que uma função constante é contí­nua. Para um exemplo um pouco menos trivial consideremos uma aplicação linear e vamos verificar que também uma função contínua. Seja então \(L:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) uma aplicação linear. Nesta situação sabemos de Álgebra linear que existem números reais \(a_{ij}\) únicos com \(i=1,\dots,m\), \(j=1,\dots,n\), tais que para todo o \(\boldsymbol{x}=(x_j)_{j=1, \dots, n}\) temos \[L(\boldsymbol{x})=\left(\sum_{j=1,\dots,n}a_{ij}x_j\right)_{i=1,\dots,m}.\] Lembre-se que isto é a representação da aplicação linear por uma matriz de $m\times n $ números reais. Tal implica que existe um número real \(C\gt 0\), só dependente de \(L\), tal que \[\left\|L(\boldsymbol{x})\right\|\leq C\left\|\boldsymbol{x}\right\|\] para todo o \(\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n\).

Mais detalhes

Seja $A=\max_{i,j}|a_{ij}|$. Então \[\begin{align*}\|L(\boldsymbol{x})\| & =\sqrt{\sum_{i=1,\dots,m}\left(\sum_{j=1,\dots,n}a_{ij}x_j\right)^2}\leq \sqrt{\sum_{i=1,\dots,m}\left(\sum_{j=1,\dots,n}A |x_j|\right)^2} \\ & \leq A \sqrt{\sum_{i=1,\dots,m}\left(\sum_{j=1,\dots,n}\|\boldsymbol{x}\|\right)^2}=A\sqrt{m}n\|\boldsymbol{x}\|.\end{align*}\]

Da linearidade de \(L\) isto por sua vez implica que se \(\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\|\lt \delta\) então \(\|L(\boldsymbol{x})-L(\boldsymbol{x}_0)\|\lt C\delta\). Daí que a definição de continuidade se verifica em qualquer ponto \(\boldsymbol{x}_0\in\mathbb{R}^n\) escolhendo \(\delta=\epsilon/C\). Obtemos assim.

Proposição (continuidade das aplicações lineares). As aplicações lineares de \(\mathbb{R}^n\) em \(\mathbb{R}^m\) são funções contínuas.

Podemos então dizer que uma aplicação como \[ \mathbb{R}^2\ni (x,y)\mapsto (2x+3y, x-y, x)\in\mathbb{R}^3\] sendo linear é também contínua em \( \mathbb{R}^2 \).

Para outro exemplo elementar e útil vamos analisar a continuidade da função norma de \(\mathbb{R}^n\) em \(\mathbb{R}\). A continuidade da norma num ponto \(\boldsymbol{x}_0\) corresponde segundo a definição a, dado um qualquer \(\epsilon\gt 0\), podermos escolher um \(\delta\gt 0\) tal que \[ \|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\|\lt\delta \Rightarrow \left|\|\boldsymbol{x}\|-\|\boldsymbol{x}_0\| \right|\lt \epsilon.\] Vamos ver que conseguimos provar isto com uma desigualdade que é consequência da desigualdade triangular. Começando com esta última sabemos que para todos os \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^n\) temos \[\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|\leq \|\boldsymbol{x}\| + \|\boldsymbol{y}\|\] Mas então também podemos substituir na desigualdade anterior \(\boldsymbol{x}\) por \(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\) obtendo que \[\|\boldsymbol{x}\|\leq \|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\| + \|\boldsymbol{y}\| \Leftrightarrow \|\boldsymbol{x}\|-\|\boldsymbol{y}\|\leq \|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|\] Voltando à desigualdade triangular, e desta vez substituindo \(\boldsymbol{y}\) por \(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\), obtemos de maneira análoga que \[\|\boldsymbol{y}\|-\|\boldsymbol{x}\|\leq \|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\|.\] Assim, tanto $\|\boldsymbol{x}\|-\|\boldsymbol{y}\|$ como o seu simétrico são majoráveis por \[\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|.\] Estabeleceu-se então que

Proposição (minorante da norma da diferença de dois vectores). Dados quaisquer vectores \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^n\) temos que \[\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|\geq \left|\|\boldsymbol{x}\|-\|\boldsymbol{y}\|\right|.\]

Como consequência podemos escolher \(\delta=\epsilon\) para verificar a definição de continuidade quando aplicada à função norma estabelecendo

Proposição (continuidade da norma). A norma é uma função contí­nua.

Observação

Note que poderíamos estabelecer a continuidade da norma à custa da continuidade das funções polinomiais, da raiz quadrada e do teorema de continuidade da função composta. O argumento anterior tem no entanto a vantagem de só depender da desigualdade triangular e portanto ter um contexto potencial de aplicação bem mais lato.

Para continuarmos a poder estudar continuidade precisamos de estabelecer um reportório de resultados sobre continuidade de funções. Um resultado simples mas importante é que, tal como verificámos que uma sucessão convergia se e só se as suas sucessões coordenadas convergissem, também podemos reduzir o estudo da continuidade das funções com valores vectoriais ao estudo da continuidade das funções com valores escalares reais.

Proposição (continuidade e funções coordenadas). Seja \(f:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\), com \(f=(f_i)_{i=1,\dots,m}\). Então \(f\) é contínua num ponto de \(A\) se e só se o mesmo acontecer para cada uma das funções coordenadas \(f_i\).

Ideia da demonstração. Use o mesmo raciocínio do resultado citado sobre sucessões. Fim da ideia de demonstração.

Assim o facto de estarmos a lidar com funções com valores vectoriais não nos causa problemas técnicos especiais. Não se pode dizer o mesmo relativamente ao facto do domí­nio das funções que pretendemos estudar estar em \(\mathbb{R}^n\) com \(n\gt 1\). Tal deverá ser óbvio quando se terminar a série de exemplos seguinte.

Exemplo. Seja \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy^2}{x^2+y^2}, & \text{ se } (x,y)\neq (0,0),\\ 0 , & \text{ se } (x,y)= (0,0).\end{cases}\] Pretendemos decidir se esta função é ou não contínua em \((0,0)\). Observemos que \[|f(x,y)-f(0,0)| = \left|\frac{xy^2}{x^2+y^2}\right|= \frac{|x|y^2}{x^2+y^2}\] e que, usando \(|x|\leq \sqrt{x^2+y^2}\) e \(y^2\leq x^2+y^2\) obtemos \[|f(x,y)-f(0,0)|\leq \frac{(x^2+y^2)^{3/2}}{(x^2+y^2)}=\|(x,y)-(0,0)\|\] Esta cadeia de desigualdades garante que se \(\|(x,y)-(0,0)\|\lt\epsilon\) então também \(\left|f(x,y)-f(0,0)\right|\lt\epsilon\), ou seja, podemos escolher \(\delta=\epsilon\) ao testar a definição de continuidade em \((0,0)\). Assim a função \(f\) é contínua em \((0,0)\).

Exemplo. Seja \(g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por \[g(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2}, & \text{ se } (x,y)\neq (0,0),\\ 0 , & \text{ se } (x,y)= (0,0).\end{cases}\] Pretendemos decidir se esta função é ou não contínua em \((0,0)\). Note-se que tentar repetir o cálculo do exemplo anterior não resulta pois não conseguimos melhor do que estimar \(|g(x,y)-g(0,0)|\) por uma constante. Investiguemos então a possibilidade de \(g\) não ser contí­nua em \((0,0)\). Observemos que se considerarmos a restrição de \(g\) à recta \(y=x\) aí­ a função vale\(1/2\) excepto em \((0,0)\) onde vale \(0\). Esta restrição não é contí­nua em \((0,0)\). Como uma restrição de uma função contí­nua é necessariamente contí­nua (convença-se deste facto!) \(g\) não é contí­nua em \((0,0)\).

No exemplo anterior usámos uma técnica prática para decidir que uma função não é contínua num ponto. Considerámos a restrição da função a um conjunto contendo o ponto e de geometria particularmente simples e aí­ provámos a não continuidade no ponto. Poderia pensar-se que este tipo de raciocínio poderia ser usado para provar continuidade num ponto desde que se provasse continuidade de uma família de restrições que de alguma forma cobrisse uma bola centrada no ponto intersectada com o domínio da função original. Tal no entanto simplesmente não funciona como mostra o exemplo seguinte.

Exemplo. Seja \(h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por \[h(x,y)=\begin{cases}\frac{xy^2}{x^2+y^4}, & \text{ se } (x,y)\neq (0,0),\\ 0 , & \text{ se } (x,y)= (0,0).\end{cases}\] Pretendemos decidir se esta função é ou não contí­nua em \((0,0)\). A restrição desta função a uma qualquer recta passando por \((0,0)\) é contí­nua em \((0,0)\) (prove-o!) no entanto a sua restrição à parábola \(x=y^2\) é uma função que vale \(1/2\) em toda a parábola excepto em \((0,0)\) onde vale \(0\). Portanto \(h\) não é contínua em \((0,0)\).

Convém estabelecer um conjunto de resultados análogos aos já conhecidos da continuidade de funções reais de variável real. Tentaremos basear estes resultados essencialmente num teorema sobre continuidade e composição de funções mas antes disso também precisaremos de saber que uma função muito específica é contínua.

Lema (continuidade do produto). A aplicação \(\mathbb{R}^2\ni(x,y)\mapsto xy\in \mathbb{R}\) é contínua.

Demonstração. Seja \((x_0,y_0)\in \mathbb{R}^2\) o ponto onde pretendemos provar a continuidade da função. Temos para todo o $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ \begin{align*}\left|xy-x_0y_0\right| & =\left|(xy-x_0y)+ (x_0y - x_0y_0)\right| \\ & \leq \left|xy-x_0y\right|+ \left|x_0y - x_0y_0\right|\leq \left|y\right|\left|x-x_0\right|+ \left|x_0\right| \left|y - y_0\right|\end{align*}Usando que tanto \(\left|x-x_0\right|\) como \(\left|y-y_0\right|\) são majoráveis por \(\left\|(x,y)-(x_0,y_0)\right\|\), obtemos \[\left|xy-x_0y_0\right|\leq (\left|y\right|+\left|x_0\right|)\left\|(x,y)-(x_0,y_0)\right\|.\]

A verificação da continuidade em \((x_0,y_0)\) seria imediata se o primeiro factor do lado direito da desigualdade anterior fosse constante (não é devido ao \(\left|y\right|\)). No entanto podemos supor que \(\left|y\right|\) é majorado por uma constante \(M\gt 0\) numa bola de raio adequado \(r'\gt 0\) centrada em \((x_0,y_0)\) (verifique esta afirmação estabelecendo que \(\left|y\right|\lt \left|y_0\right|+1\) em \(B_1(x_0,y_0)\)). Então \[\|(x,y)-(x_0,y_0)\|\lt \min(r',\delta)\Rightarrow \left|xy-x_0y_0\right| \lt (M+\left|x_0\right|+\left|y_0\right|) \delta\] Assim podemos tomar na definição de continuidade aplicada a esta situação, \(\delta\) escolhido de maneira a \(\delta\lt \min\left(r',\frac{\epsilon}{M+\left|x_0\right|+\left|y_0\right|}\right)\). Fim da demonstração do lema.

Note que também poderíamos ter demonstrado o lema usando o critério de Heine e o resultado conhecido sobre sucessões de que o produto de duas sucessões convergentes em $\mathbb{R}^n$ converge para o produto dos limites. Se comparar a demonstração desse resultado sobre sucessões com a do lema acima verificará que se trata essencialmente do mesmo argumento.

Teorema (Continuidade da função composta).

Sejam \(F:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) e \(G:B\subset\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^p\), \(\boldsymbol{x}_0\in A\),  \(F(\boldsymbol{x}_0)\in B\), \(F\) contínua em \(\boldsymbol{x}_0\), \(G\) contínua em \(F(\boldsymbol{x}_0)\). Então a função composta \(G\circ F\) é contí­nua em \(\boldsymbol{x}_0\).

Demonstração. Isto é uma simples aplicação do critério de Heine de continuidade. Seja \((\boldsymbol{x}_k)\) uma qualquer sucessão no domí­nio de \(G\circ F\) convergindo para \(\boldsymbol{x}_0\) (relembramos que o domí­nio de \(G\circ F\) será o conjunto \(\left\{\boldsymbol{x}\in A: F(\boldsymbol{x})\in B\right\}\)). Mas então \((\boldsymbol{x}_k)\) é uma sucessão no domí­nio de \(F\) que, como \(F\) é contí­nua, verifica \(F(\boldsymbol{x}_k)\to F(\boldsymbol{x}_0)\) e, por sua vez, \((F(\boldsymbol{x}_k))\) é uma sucessão no domí­nio de \(G\) que, graças à continuidade de \(G\), verifica \(G(F(\boldsymbol{x}_k))\to G(F(\boldsymbol{x}_0))\). Mas isto quer dizer que \(G\circ F\) é contínua, mais uma vez usando a caracterização de Heine de continuidade. Fim da demonstração do teorema.

Usando os dois resultados anteriores e a continuidade coordenada a coordenada, podemos por exemplo justificar que o produto de duas funções escalares contí­nuas é uma função contí­nua. Com efeito note-se que o produto de duas funções escalares \(f\) e \(g\) pode ser interpretado de acordo com o seguinte diagrama:

\[ \mathbb{R}^n\ni \boldsymbol{x}\mapsto (f(\boldsymbol{x}), g(\boldsymbol{x})) = (u, v) \mapsto uv = f(\boldsymbol{x})g(\boldsymbol{x})\]

Substituindo neste argumento o papel desempenhado pelo produto pela adição ou pelo inverso algébrico podemos também concluir que a adição de funções contínuas é contí­nua, ou que o inverso algébrico de uma função escalar é contí­nua em todos os pontos em que esta função não se anula. Outros resultados que seguem facilmente do que fizemos são a continuidade das funções coordenadas (obter uma coordenada a partir de um vector é uma aplicação linear) e das funções polinomiais (são somas e produtos de funções constantes e das funções coordenadas).

Exemplo. Seja \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, & \text{ se } (x,y)\neq (0,0), \\ 0, & \text{ se } (x,y)= (0,0). \end{cases}\] Já vimos que \(f\) é contí­nua em \((0,0)\) usando a definição de continuidade. No complementar da origem podemos encarar a função como o produto da função polinomial \((x,y)\mapsto xy\) pelo inverso da norma e portanto \(f\) é contínua em \(\mathbb{R}^2\).

Exemplo. Seja \(g: \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) definida por \(g(x,y,z)=\left(\log(1+x^2+y^4),e^{xz},\cos\left(\sqrt[3]{x^2+y^2}\right)\right)\). O que queremos realçar aqui é que podemos estudar a continuidade da função coordenada a coordenada e que para cada uma das funções coordenadas podemos usar a continuidade da exponencial, do cosseno, da raiz cúbica e do logaritmo juntamente com o teorema sobre a continuidade da composta e a continuidade das funções polinomiais. Facilmente chegamos à conclusão que \(g\) está definida e é contí­nua em \(\mathbb{R}^3\).

Ter ficado ao nosso dispor uma vasta família de funções para as quais conseguimos justificar com facilidade a continuidade permite-nos revisitar o problema de justificar que um subconjunto de \(\mathbb{R}^n\) é aberto no caso em que que este conjunto tem a forma \(\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n:f(\boldsymbol{x}) \gt c\}\) em que \(c\in\mathbb{R}\) e \(f\) é uma função definida e contínua em \(\mathbb{R}^n\).

Para discutir este problema ser-nos-á conveniente usar a noção de imagem inversa de um conjunto por uma função e a notação associada. Sendo $A$ e $B$ dois conjuntos quaisquer e $C\subset B$ e $h:A\to B$ uma função define-se a imagem inversa de $C$ por $h$ como sendo o conjunto \[h^{-1}(C)\equiv\{x\in A : h(x)\in C\}.\] Note que não se está a supor que $h$ tenha uma inversa.

Assim, na questão que nos ocupa, podemos escrever $\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n:f(\boldsymbol{x}) \gt c\}=f^{-1}({]c,+\infty[})$.

Suponha-se que \(\boldsymbol{x}_0\in\mathbb{R}^n\) é tal que \(f(\boldsymbol{x}_0)\gt c\). Escolha-se um \(\epsilon\gt 0\) tal que \(f(\boldsymbol{x}_0)-\epsilon \gt 0\). Usando a continuidade de \(f\), existe \(\delta\gt 0\) tal que se \(\boldsymbol{x}\in B_\delta(\boldsymbol{x}_0)\) então \(f(\boldsymbol{x})\in B_\epsilon(f(\boldsymbol{x}_0))\) e, em particular, \(f(\boldsymbol{x})\gt c\). Daí que existe uma bola centrada em \(f(\boldsymbol{x}_0)\) contida no conjunto que portanto é aberto. Mais geralmente

Teorema (imagem inversa de um aberto por uma função contínua). Sejam \(U\subset\mathbb{R}^n\) e \(V\subset\mathbb{R}^m\) conjuntos abertos e \(F:U\to \mathbb{R}^m\) uma função contínua. Então \(F^{-1}(V)\equiv \{\boldsymbol{x}\in U: F(\boldsymbol{x})\in V\}\) é um conjunto aberto.

Ideia da demonstração. Adapte o raciocínio que precede o enunciado do teorema. Fim da ideia de demonstração.

Exercício. Mostre que é essencial, no argumento anterior e no teorema, assumir que as funções contínuas estão definidas num aberto.

Exercício. Justifique que \(\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\log(x^2+y^4+1)\gt 1\}\) é um conjunto aberto.

Exercício. Justifique que \(\{(x,y)\in\mathbb{R}^3:e^{x^2+y^4+z}\leq 2\}\) é um conjunto fechado. Sugestão: Comece por mostrar que o complementar deste conjunto é aberto.

Limites

Definição (Limite finito num ponto aderente ao domínio). Seja $f:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ e seja $\boldsymbol{x}_0\in \overline{A}$. Diz-se que $f$ tem limite $\boldsymbol{y}_0$ em $\boldsymbol{x}_0$ se qualquer que seja $\epsilon \gt 0$ existir $\delta\gt 0$ tal que \[\left\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\right\|\lt \delta, \; \boldsymbol{x}\in A\Rightarrow \left\|f(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y}_0\right\|\lt \epsilon.  \] Escreveremos \[\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{x}_0}f(\boldsymbol{x})= \boldsymbol{y}_0.\]

Note que, no caso em que $\boldsymbol{x}_0\in A$, a existência de limite equivale à continuidade em $\boldsymbol{x}_0$ sendo o valor do limite $f(\boldsymbol{x}_0)$ e que, no caso de $\boldsymbol{x}_0\in \overline{A}\setminus A$, a existência de limite com valor $\boldsymbol{y}_0$ corresponde à continuidade do prolongamento da função $f$ a $\boldsymbol{x}_0$ com o valor  $\boldsymbol{y}_0$. Isto justifica poder encarar-se este tipo de limites como destinado a prolongar por continuidade uma função a um ponto ou a redefinir o valor de uma função num ponto de maneira a que função se torna contínua nesse ponto. Esta observação permite pegar em resultados sobre continuidade pontual e obter um resultado correspondente sobre limites pelo que não listaremos explicitamente tais resultados. Por exemplo se duas funções têm limites finitos num ponto aderente aos seus domínios então o seu produto terá limite nesse ponto com valor igual ao produto dos limites.

Exercício. Justifique que \[\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\operatorname{sen}(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=1.\]

Ser-nos-á conveniente usar limites de funções restringidas a um subconjunto do seu domínio, em particular para provar que alguns limites não existem.

Definição (Limite com restrição de domínio). Seja $f:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$,  $S\subset \mathbb{R}^n$, $\boldsymbol{x}_0\in \overline{S\cap A}$. Define-se \[\lim_{\overset{\boldsymbol{x}\in S}{\boldsymbol{x}\to \boldsymbol{x}_0}}f(\boldsymbol{x})=\lim_{\boldsymbol{x}\to \boldsymbol{x}_0}f|_{S\cap A}(\boldsymbol{x})\] em que $f|_{S\cap A}$ é a restrição da função $f$ a $S\cap A$.

Note-se o seguinte resultado de muito fácil demonstração:

Proposição. Se um limite de uma função existe num ponto então qualquer limite por restrição dessa função nesse ponto também existe e tem o mesmo valor.

Claro que se um limite por restrição não existir ou dois limites por restrição relativos à mesma função no mesmo ponto existirem mas forem distintos então o limite original não existe.

Exemplo. (Note a notação relativamente informal e simplificada usada para descrever o conjunto a que se restringe a função.)

\[\begin{align*}\lim_{\overset{x=y^2}{(x,y)\to (0,0)}}\frac{xy^2}{x^2+y^4} = &  \lim_{y\to 0}\frac{y^4}{2y^4}=\frac{1}{2}, \\ \lim_{\overset{x=0}{(x,y)\to (0,0)}}\frac{xy^2}{x^2+y^4}  = & \lim_{y\to 0}\frac{0}{y^4} =0\end{align*}\] pelo que não existe $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4}$. Compare com o que já tínhamos feito atrás ao discutir continuidade pontual.

Consideraremos também limites no infinito e limites infinitos de forma similar ao que se fez com funções reais de variável real. Não mencionaremos explicitamente casos envolvendo $+\infty$ ou $-\infty$ que podem ser considerados quando $n=1$ ou $m=1$ mas deverá ser claro como alterar as definições nesses casos. Veja o exercício abaixo.

Definição (Limite finito no infinito). Seja $f:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ com $A$ um conjunto ilimitado. Dizemos que $f$ tem limite $\boldsymbol{y}_0$ no infinito e escrevemos \[\lim_{\boldsymbol{x}\to \infty} f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{y}_0\] se dado um qualquer $\epsilon \gt 0$ existir $M\gt 0$ tal que  $\|\boldsymbol{x}\|\gt M$ com $\boldsymbol{x}\in A$ implica que $\left\|f(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y}_0\right\|\lt \epsilon$.

Exercício. Justifique que \[\lim_{(x,y,z)\to \infty}e^{-(x^2+y^2+z^2)}=0.\]

Exercício. Seja $Q=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x\gt 0, y\gt 0\}$ e $g:Q\to\mathbb{R}$ definida por $g(x,y)=e^{-xy}$. Mostre que $\displaystyle\lim_{\overset{y=\alpha x}{(x,y)\to \infty}} g(x,y)= 0$ para todo o $\alpha\gt 0$ mas $\displaystyle\lim_{(x,y)\to \infty} g(x,y)$ não existe.

Definição (Limite infinito num ponto aderente ao domínio). Seja $f:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$, $\boldsymbol{x}_0\in \overline{A}$. Diz-se que $f$ tem limite infinito em $\boldsymbol{x}_0$ e escreve-se \[\lim_{\boldsymbol{x}\to \boldsymbol{x}_0}f(\boldsymbol{x})=\infty\] se dado $M\gt 0$ existir $\delta\gt 0$ tal que \[\left\|\boldsymbol{x}- \boldsymbol{x}_0\right\|\lt \delta, \boldsymbol{x}\in A \Rightarrow \left\|f(\boldsymbol{x})\right\|\gt M.\]

Exemplo. Consideremos a função $\varphi:\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x\neq 0 , y\neq 0\}\to \mathbb{R}$ definida por $\varphi(x,y)=\frac{1}{xy}$. Vamos estudar a existência de $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\varphi(x,y)$. Considerando a restrição de $\varphi$ às rectas $y=x$ e $y=-x$ verificamos que a única possibilidade de limite nos sentidos que mencionámos é ser $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\varphi(x,y)=\infty$. Vamos tentar provar que assim é de facto. Para tal basta notar que \[|\varphi(x,y)|=\frac{1}{|xy|}\geq \frac{2}{x^2+y^2}\] donde \[\sqrt{x^2+y^2}<\delta , x\neq 0, y\neq 0 \Rightarrow |\varphi(x,y)|\gt \frac{2}{\delta^2}\] o que possibilita na definição de limite correspondente escolher $\delta = \sqrt{\frac{2}{M}}$.

Definição (Limite infinito no infinito). Seja $f:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$, $A$ um conjunto ilimitado. Diz-se que $f$ tem limite infinito no infinito e escreve-se \[\lim_{\boldsymbol{x}\to \infty}f(\boldsymbol{x})=\infty\] se dado $M\gt 0$ existir $N\gt 0$ tal que \[\left\|\boldsymbol{x}\right\|\gt N, \boldsymbol{x}\in A \Rightarrow \left\|f(\boldsymbol{x})\right\|\gt M.\]

Exercício. Mostre que \[\lim_{(x,y)\to\infty}(x^2+y^2)e^{x^2+y^2}=\infty.\]

Exercício. Mostre que \[\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)e^{\frac{1}{x^2+y^2}}=\infty.\]

No espírito do que é já conhecido do caso das funções reais de variável real (recta acabada, etc.) as quatro definições anteriores poderiam ser reduzidas a uma única considerando o conjunto $\mathbb{R}^n\cup \{\infty\}$, vizinhanças de pontos de $\mathbb{R}^n$ como sendo bolas centradas nesse ponto e vizinhanças de $\infty$ como sendo complementares de bolas centradas em $\boldsymbol{0}$.

Exercício. Quando a função tem variável real ou valores também estamos interessados em limites envolvendo $+\infty$ e $-\infty$ que podem ser formalizados como se exemplifica a seguir.

Definição (Limite $+\infty$ num ponto aderente ao domínio). Seja $f:A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, $\boldsymbol{x}_0\in\overline{A}$. Dizemos que $\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{x}_0} f(\boldsymbol{x})=+\infty$ se dado um qualquer $M\gt 0$ existir $\epsilon\gt 0$ tal que \[\boldsymbol{x}\in B_{\epsilon}(\boldsymbol{x}_0), \boldsymbol{x}\in A \Rightarrow f(\boldsymbol{x})\gt M.\]

Formalize os restantes casos que omitimos. Fim de enunciado de exercício.

Justificar ou calcular um limite de funções de mais de uma variável real pode ser consideravelmente mais complexo do que nos exercícios anteriores devido ao carácter não unidimensional do problema (algo que no essencial está ausente dos exercícios apresentados atrás). Atente-se no exemplo seguinte aqui incluído para referência futura.