Mudança de variáveis na integração

Comecemos por relembrar a fórmula de mudança de variáveis na integração para integrais de funções reais de variável real num formato que permite estabelecer paralelos mais fáceis com a generalização a dimensões superiores.

Teorema (mudança de variáveis na integração em dimensão $1$). Seja \([a,b]\subset\mathbb{R}\), \(a\lt b\) e \(T\in C^1([a,b])\) tal que \(T'(x)\neq 0\) para todo o \(x \in [a,b]\) e \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) uma função integrável em \([a,b]\). Então \begin{equation}\int_{[a,b]}f(x)\, dx = \int_{T([a,b])} f\left(T^{-1}(u)\right)\left|\frac{dT^{-1}}{du}\right|\,du.\label{eq:25:1}\end{equation}

Note que o termos indicado a região de integração na fórmula do lado direito como $T([a,b])$ obrigou a considerar o módulo da derivada de $T^{-1}$ para que a fórmula tanto valesse nos casos em que $T$ é estritamente crescente como nos casos em que é estritamente decrescente.

O nosso objectivo é estabelecer uma fórmula análoga à do enciado do teorema que acabámos de citar sob condições suficientemente gerais. Isto é, sendo \(T:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n\) com $A$ um aberto uma função de classe $C^1$, $K\subset A$ um limitado e fechado e $F:K\to\mathbb{R}$ uma função integrável em $K$ queremos estabelecer condições relativamente gerais que estabeleçam a validade da fórmula que generaliza ($\ref{eq:25:1}$), isto é, \begin{equation}\int_{K}f(\boldsymbol{x})\, d\boldsymbol{x} = \int_{T(K)} f\left(T^{-1}(\boldsymbol{u})\right)\left|\det \frac{\partial T^{-1}}{\partial \boldsymbol{u}}\right|\,d\boldsymbol{u} \label{eq:25:2}.\end{equation}

Mudança de variáveis via transformações lineares

Para começar a discutir esta igualdade e, em particular, o aparecimento na fórmula de um determinante de uma matriz jacobiana com o carácter de um factor de escala infinitesimal para volumes, começamos por analisar o que se passa com mudanças de variáveis lineares e dentro destas começamos por três exemplos muito simples correspondentes a transformações lineares elementares. Faz-se notar desde já que os cálculos nestes exemplos vão ser possíveis simplesmente graças ao teorema de Fubini e à fórmula de mudança de variáveis em dimensão $1$.

Exemplo 1. Consideramos a transformação linear \(\mathbb{R}^2\ni (x,y)\mapsto T(x,y)=(x,x+y)\in\mathbb{R}^2\) e uma função integrável \(f:[0,1]^2\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\). Temos \[T([0,1]^2)=\left\{(u,v)\in\mathbb{R}^2:u\in [0,1], v\in [u, u+1]\right\},\] identificando $T$ e a matriz que a representa temos \[T=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{bmatrix}\] e \[T^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ -1 & 1\end{bmatrix}.\] Note também que $\det T=\det T^{-1}=1$.

Se considerarmos o integral \[\iint_{T([0,1]^2)}f(T^{-1}(u,v))\;|\det T^{-1}|\, du\, dv\] verificamos que a integrabilidade de $f$ justifica a integrabilidade de $f\circ T^{-1}$ em $T([0,1]^2)$ e que o integral é igual a \[\int_0^1\left(\int_u^{u+1} f(u,v-u)\, dv\right)du = \int_0^1\left(\int_0^{1} f(u,v)\, dv\right)du = \iint_{[0,1]^2} f \] em que se usou uma mudança de variáveis (uma translacção) para um integral de uma função de uma função de uma variável real.

Estabelecemos assim que para este caso particular vale a identidade \[\iint_{T([0,1]^2)}f(T^{-1}(u,v))\;|\det T^{-1}|\, du\, dv=\iint_{[0,1]^2} f.\] Acontece que exactamente o mesmo argumento estabelece que se $T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ é uma transformação linear da forma $T(x_1,\dots, x_{i-1}, x_i , x_{i+1},\dots,x_n)=(x_1,\dots, x_{i-1}, x_i +x_j, x_{i+1},\dots,x_n)$ para alguns $i,j\in\{1,\dots,n\}$ (note que a notação significa que só uma coordenada do vector é alterada por adição de outra coordenada) e $f:I\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$, com $I$ um intervalo limitado e fechado, é uma função integrável, então vale \[\int_{T(I)} f\left(T^{-1}(\boldsymbol{u})\right)\; \left|\det T^{-1}\right| \, d\boldsymbol{u} = \int_I f(\boldsymbol{x})\, d\boldsymbol{x}\] que corresponde a ($\ref{eq:25:2}$) neste caso. Fim de exemplo.

Exemplo 2. Desta vez consideramos a transformação linear \(\mathbb{R}^2\ni (x,y)\mapsto T(x,y)=(\lambda x,y)\in\mathbb{R}^2\) em que $\lambda\neq 0$ e uma função integrável \(f:[0,1]^2\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\).

Consideremos primeiro $\lambda\gt 0$. Temos \[T\left([0,1]^2\right)=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2: u\in[0,1], v\in [0,\lambda]\}.\] Identificando $T$ e a matriz que a representa temos \[T=\begin{bmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\] e \[T^{-1}=\begin{bmatrix}\lambda^{-1} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.\] Temos $\det T=\lambda$ e $\det T^{-1}=\lambda^{-1}$.

Obtemos também facilmente que $f\circ T^{-1}$ é integrável em $T\left([0,1]^2\right)$ e \begin{align*}\iint_{T([0,1]^2)}f(T^{-1}(u,v))\;|\det T^{-1}|\, du\, dv &=\int_0^1\left(\int_0^\lambda f\left(\frac{u}{\lambda},v\right)\frac{1}{\lambda}\, du\right)dv \\ &=\int_0^1\left(\int_0^1 f\left(u,v\right)\, du\right)dv=\iint_{[0,1]^2} f. \end{align*}

Lidando de forma análoga com o caso $\lambda\lt 0$, obtemos também a mesma igualdade entre integrais.

Mais geralmente, cálculos similares aos anteriores permitem afirmar que se $T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ é definida por \[\boldsymbol{u}=T(\boldsymbol{x})=T(x_1,\dots, x_{i-1}, x_i, x_{i+1}, \dots , x_n)=(x_1,\dots, x_{i-1}, \lambda x_i, x_{i+1}, \dots , x_n)\] (isto é, todas as coordenadas ficam imutáveis excepto uma que é multiplicada por $\lambda$) então também \[\int_{T(I)} f\left(T^{-1}(\boldsymbol{u})\right)\; \left|\det T^{-1}\right| \, d\boldsymbol{u} = \int_I f(\boldsymbol{x})\, d\boldsymbol{x}.\] Fim de exemplo.

Exemplo 3. (Exercício) Obtenha o resultado análogo aos dos dois exemplos anteriores para o caso em que $T(x,y)=(y,x)$ ou, mais geralmente, \[\boldsymbol{u}=T(\boldsymbol{x})=T(x_1,\dots,  x_i,\dots, x_j,\dots , x_n)=(x_1,\dots,  x_j,\dots, x_i,\dots , x_n)\] isto é, todas as coordenadas ficam imutáveis excepto duas que são permutadas. Fim de exemplo.

Relembrando que qualquer aplicação linear invertível de $\mathbb{R}^n$ em $\mathbb{R}^n$ pode ser expressa como uma composição de transformações lineares elementares como descritas na versão geral dos três exemplos anteriores e notando que se ($\ref{eq:25:2}$) é válida para duas transformações lineares também é válida para a sua composição obtemos

Lema (Mudança de variáveis na integração via transformações lineares). Seja $K\subset\mathbb{R}^n$ um limitado, $f:K\to\mathbb{R}$ uma função integrável em $K$ e $T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ uma transformação linear invertível. Então $f\circ T^{-1}$ é integrável em $T(K)$ e \[\int_{T(K)} f\left(T^{-1}(\boldsymbol{u})\right)\; \left|\det T^{-1}\right| \, d\boldsymbol{u} = \int_K f(\boldsymbol{x})\, d\boldsymbol{x}.\]

Note que, considerando também o caso $\lambda =0$ no exemplo 2, é possível concluir que o transformado por uma aplicação linear de $\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ de um intervalo limitado  de $\mathbb{R}^n$ tem volume igual ao seu volume multiplicado por $|\det T|$.

Caso geral

O caso geral do teorema segue por um argumento de aproximação a partir do caso linear. Não discutiremos os detalhes aqui. Uma primeira formulação do resultado pode ser

Teorema (mudança de variáveis na integração). Seja $K\subset\mathbb{R}^n$ um limitado, $f:K\to\mathbb{R}$ uma função integrável em $K$. Seja $A\supset K$ um aberto e $T:A\to \mathbb{R}^n$ uma função de classe $C^1(A)$, injectiva e verificando $\det J_T(\boldsymbol{x})\neq 0$ para $\boldsymbol{x}\in A$. Então vale \[\int_{T(K)} f\left(T^{-1}(\boldsymbol{u})\right)\; \left|\det J_{T^{-1}}(\boldsymbol{u})\right| \, d\boldsymbol{u} = \int_K f(\boldsymbol{x})\, d\boldsymbol{x}.\]

Faz-se notar que nas aplicações encontraremos frequentemente situações em que as hipóteses de injectividade ou de o determinante da matriz da jacobiana não ser nulo falham em conjuntos que, do ponto de vista da integração em $\mathbb{R}^n$, não são “importantes”. Deve ser claro nesses casos como usar o resultado citado e um argumento de aproximação para lidar com tais situações.