Teorema da divergência

O teorema da divergência estabelece a validade de uma igualdade \begin{equation}\int_U \div F\, d\boldsymbol{x} = \int_{\partial U} F\cdot \nu \, dV_{n-1}(\boldsymbol{x})\label{28:teor_div}\end{equation} em que $U$ é um aberto limitado de $\mathbb{R}^n$ com uma fronteira suficientemente regular, $\partial U$, onde está definida, excepto possivelmente num conjunto irrelevante do ponto de vista de volumes $n-1$ dimensionais, uma normal unitária exterior $\nu=(\nu_1,\dots,\nu_n)$ e $F=(F_1,\dots,F_n): \overline{U}\to\mathbb{R}^n$ é uma função $C^1(\overline{U})$ e \[\div F=\sum_{i=1}^n \frac{\partial F_i}{\partial x_i}.\] Uma das nossas dificuldades será entender para que abertos limitados $U$ vale o resultado. Derivar a validade de ($\ref{28:teor_div}$) numa situação particularmente simples será um primeiro passo nesse sentido. Iremos no entanto evitar lidar com os aspectos mais tecnicamente delicados da questão.

Exemplo. Seja $V\subset\mathbb{R}^{n-1}$ um aberto limitado com fronteira $\partial V\in C^1$ (excepto possivelmente num conjunto desprezável do ponto de vista de integração $n-2$ dimensional, por exemplo $V$ poderia ser um intervalo em $\mathbb{R}^{n-1}$). Seja $h:\overline{V}\to {]0,+\infty[}$ uma função de classe $C^1(\overline{V})$. Definimos \[U=\{(x_1,\dots ,x_{n-1},x_n): (x_1,\dots ,x_{n-1})\in V, 0\lt x_n \lt h(x_1,\dots ,x_{n-1})\}\] e consideramos $F:\overline{U}\to\mathbb{R}$ de classe $C^1(\overline{U})$, $F=(0,\dots,0,F_n)$. Com estas definições a igualdade ($\ref{28:teor_div}$) toma a forma \begin{equation}\int_U \frac{\partial F_n}{\partial x_n}\, d\boldsymbol{x}=\int_{\partial U} F_n\nu_n\, dV_{n-1}(\boldsymbol{x})\label{28:2}\end{equation}

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Calculando os dois lados da igualdade temos para o integral $n$-dimensional, usando o teorema de Fubini, \begin{align*}\int_U \frac{\partial F_n}{\partial x_n}\, d\boldsymbol{x} &=\int_V\left(\int_0^{h(x_1,\dots,x_{n-1})}\frac{\partial F_n}{\partial x_n}\, dx_n\right)dx_1\dots dx_{n-1} \\ &= \int_V F_n(x_1,\dots,x_{n-1},h(x_1,\dots,x_{n-1}))-F_n(x_1,\dots,x_{n-1},0)\, dx_1\dots dx_{n-1}.\end{align*} Para lidar com o integral $n-1$ dimensional sobre $\partial U$ notamos que \[\partial U = (V\times\{0\})\cup S_L \cup S\] em que \begin{align*}S_L &= \{(x_1,\dots,x_{n-1},x_n)\in \overline{U}:(x_1,\dots,x_{n-1})\in\partial V\}\\ S &= \{(x_1,\dots,x_{n-1}, h(x_1,\dots,x_{n-1}): (x_1,\dots,x_{n-1})\in V\} \end{align*} Nos pontos de $V\times\{0\}$ temos $\nu_n=-1$. Nos pontos de $S_L$ onde estiver definida uma normal unitária $\nu$ temos $\nu_n=0$. Sobre $S$ temos \[\nu=\frac{\left(-\frac{\partial h}{\partial x_1}, \dots, -\frac{\partial h}{\partial x_{n-1}}, 1\right)}{\sqrt{1+\|\nabla h\|^2}}\] sendo $\sqrt{1+\|\nabla h\|^2}$ o elemento de volume $n-1$ dimensional em $S$. Assim \begin{align*}\int_{V\times\{0\}}F_n \nu_n \,dV_{n-1} & = -\int_V F_n(x_1,\dots,x_{n-1},0)\, dx_1\dots dx_{n-1}\\ \int_{S_L} F_n \nu_n \,dV_{n-1} & = 0 \\ \int_{S} F_n \nu_n \,dV_{n-1} & = \int_V F_n(x_1,\dots,x_{n-1},h(x_1,\dots,x_{n-1}))\, dx_1 \dots dx_{n-1}\end{align*} estabelecendo a igualdade do teorema da divergência neste caso particular. Fim de exemplo.

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Teorema (da divergência ou de Gauss). Sejam $U$ um domínio regular em $\mathbb{R}^n$ , com fronteira $\partial U$ onde está definida uma normal unitária exterior $\nu=(\nu_1,\dots,\nu_n)$ e $F=(F_1,\dots,F_n): \overline{U}\to\mathbb{R}^n$ uma função $C^1(\overline{U})$ e $\div F=\sum_{i=1}^n \frac{\partial F_i}{\partial x_i}$. Então vale \[\int_U \div F\, d\boldsymbol{x} = \int_{\partial U} F\cdot \nu \, dV_{n-1}(\boldsymbol{x}).\]

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Aplicações do teorema da divergência

Exercício (interpretação do operador divergência). Para compreender o significado do operador divergência convém notar que sendo $U\subset\mathbb{R}^n$ um aberto e $F:U\to\mathbb{R}^n$ uma função de classe $C^1(U)$ podemos recuperar a $\div F$ à custa de um limite envolvendo o fluxo de $F$ através da fronteira de domínios reescalados em torno do ponto onde pretendemos o valor da divergência. Mais concretamente seja $\boldsymbol{x}_0\in U$ e consideremos as bolas $B_\rho(\boldsymbol{x}_0)$ para $\rho$ suficientemente pequeno e o limite \[\lim_{\rho\to 0}\frac{\int_{\partial B_\rho(\boldsymbol{x}_0)} F\cdot \nu \, dV_{n-1}}{\operatorname{vol(B_\rho(\boldsymbol{x}_0))}}.\] Use o teorema da divergência para verificar que o limite existe e é igual $\div F(\boldsymbol{x}_0)$.

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Exemplo (Ângulo sólido). Dado um subconjunto $\Omega$ de $\mathbb{R}^3\setminus\{\boldsymbol{0}\}$ definimos o seu ângulo sólido relativamente a $\boldsymbol{0}$ como a área do subconjunto de $S^2=\partial B_1(\boldsymbol{0})$ definido pela sua intersecção com todas as semirectas originárias em $\boldsymbol{0}$ que intersectam $\Omega$, se essa área estiver definida. Vamos exprimir o ângulo sólido de uma superfície $S$ suficientemente regular e com normal unitária contínua $\nu$ cujo produto interno com o vector posição é positivo em todos os pontos de $S$ (tal garante que uma semirecta com origem em $\boldsymbol{0}$ se intersectar $S$ só o faz num ponto), como um fluxo de um dado campo através da superfície, especificamente consideramos \[\iint_S \frac{\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}\|^3}\cdot \nu\, dS.\] Abreviando $r=\|\boldsymbol{x}\|$ temos $\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{x_i}{r}$, pelo que $\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{x_i}{r^3}\right)=\frac{r^2-3 x_i^2}{r^5}$, donde $\div\left(\frac{\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}\|^3}\right)=0$.

Supondo que a distância de $S$ à origem é maior que $\delta\gt 0$ considere-se a união $U$ de todos os segmentos de recta contidos em semi-rectas com origem em $\boldsymbol{0}$ e unindo um ponto de $\partial B_\delta(\boldsymbol{0})$ a um ponto de $S$. Temos $\partial U= S\cup S_{\delta}\cup S_L$ em que \[S_\delta=\{\boldsymbol{x}\in B_\delta(\boldsymbol{0}): \exists_{t\gt 1} t\boldsymbol{x}\in S\}\] e em que $S_L$ é formada por pontos de $\partial U$ que não estão em $S\cup S_\delta$. Se $S_L$ for suficientemente regular de maneira a aí estar definido um fluxo no sentido da normal unitária exterior, verificamos com facilidade que aí $\nu$ é ortogonal ao campo. Sob tais hipóteses o teorema da divergência permite escrever \[\iint_S \frac{\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}\|^3}\cdot \nu\, dS + \iint_{S_\delta} \frac{\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}\|^3}\cdot \nu \, dS =  \iiint_U \div \left(\frac{\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}\|^3}\right)\, d\boldsymbol{x}= 0.\] Verifica-se facilmente que o integral sobre $S_\delta$ é igual a $-\frac{1}{\delta^2} \operatorname{área}(S_\delta)$ que, por sua vez, é igual ao simétrico do ângulo sólido de $S$, o que permite concluir. Fim de exemplo.

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Exemplo. (Mecânica dos meios contínuos, leis de conservação e um teorema de Liouville)

Uma possibilidade para descrever sistemas de partículas e a sua evolução consiste em considerar aplicações $\boldsymbol{x}: I\times\Omega_0 \subset \mathbb{R}\times \mathbb{R}^3\to  \mathbb{R}^3$ em que $I$ é um intervalo aberto, $0\in I$, $\Omega_0$ é um aberto, e $\boldsymbol{x}$ é uma aplicação suficientemente regular, por exemplo $C^2$, convencionando-se que $\boldsymbol{x}(t,\boldsymbol{p})$ corresponde à posição da particula $\boldsymbol{p}$ no instante $t$, e que $\boldsymbol{x}(0,\boldsymbol{p})=\boldsymbol{p}$.

Para efeitos deste exemplo convencionamos também que, para cada $t\in I$, as aplicações $\boldsymbol{p}\mapsto\boldsymbol{x}(t,\boldsymbol{p})$ têm uma inversa diferenciável (que será de classe $C^2$ e que terá sempre determinante da matriz jacobiana positivo; justifique estas afirmações!).

A descrição de várias grandezas nestes sistemas pode ser feita tanto em termos das coordenadas espaciais $\boldsymbol{x}=(x_i)_{i=1,\dots,3}$ como das coordenadas materiais $\boldsymbol{p}=(p_i)_{i=1,\dots,3}$. Tomamos como exemplo a densidade $\rho$ (em coordenadas espaciais) ou $\boldsymbol{\rho}$ (em coordenadas materiais) para a qual haverá duas possíveis descrições relacionadas por \[\rho(t,\boldsymbol{x}(t,\boldsymbol{p})))=\boldsymbol{\rho}(t,\boldsymbol{p}).\] As várias grandezas que se estudam são restringidas por leis de conservação. No caso da densidade temos a lei da conservação da massa que pode ser formulada como afirmando que a massa de um conjunto de partículas permanece invariante, isto é, sendo $\omega_0$ com $\overline{\omega_0}\subset\Omega_0$ um domínio regular e $\omega_t=\{\boldsymbol{x}(t, \boldsymbol{p}): \boldsymbol{p}\in \omega_0\}$ temos \begin{equation}\frac{d}{dt}\int_{\omega_t} \rho(t, \boldsymbol{x})\, d\boldsymbol{x}=0. \label{cm:1}\end{equation} Consideramos também a  velocidade das partículas do sistema definia via \[\boldsymbol{v}(t,\boldsymbol{p})= \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial t}.\]

O teorema de Liouville a que nos referimos neste exemplo trata da comutação da derivada com o integral em situações similares ao lado esquerdo de $(\ref{cm:1})$ com $\rho$ substituído por uma outra função de $t$ e $\boldsymbol{x}$. Vamos usar o teorema da divergência para derivá-lo.

Seja então $\boldsymbol{f}:I\times\Omega_0\to \mathbb{R}$ uma função de classe $C^1$ e $f(t,\boldsymbol{x}(t,\boldsymbol{p})))=\boldsymbol{f}(t,\boldsymbol{p})$. Para $t\gt 0$ consideramos o subconjunto de $\mathbb{R}^4$ definido por $U_t=\{(s,\boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{p})): s\in [0,t], \boldsymbol{p}\in \omega_0\}$. $U_t$ é um domínio regular em $\mathbb{R}^4$ com fronteira \[\partial U_t=(\{0\}\times \overline{\omega_0}) \cup  (\{t\}\times \overline{\omega_t}) \cup\{(s,\boldsymbol{x}): s\in [0,t], \boldsymbol{x}\in \partial\omega_s\}.\] A normal unitária exterior $\nu$ a $\partial U_t$ é $(-1,0,0,0)$ em $\{0\}\times\omega_0$, $(1,0,0,0)$ em $\{0\}\times \omega_t$ e ortogonal a $(1,v(t,\boldsymbol{x}))$ nos pontos de $\{(s,\boldsymbol{x}): s\in {]0,t[}, \boldsymbol{x}\in \partial\omega_s\}$ (justifique estas afirmações!).

Considerando o campo $G:\overline{U_t}\to \mathbb{R}^4$ definido por $G(t,\boldsymbol{x})=f(t,\boldsymbol{x}) (1, v(t,\boldsymbol{x}))$ verificamos que $G(0,\boldsymbol{x})\cdot\nu=-f(0,\boldsymbol{x})$ sobre $\{0\}\times\omega_0$, $G(t,\boldsymbol{x})\cdot\nu=f(t,\boldsymbol{x})$ sobre $\{t\}\times\omega_t$ e que $G(t,\boldsymbol{x})\cdot\nu=0$ sobre $\{(s,\boldsymbol{x}): s\in {]0,t[}, \boldsymbol{x}\in \partial\omega_s\}$. O teorema da divergência permite então escrever \begin{align*}\iiiint_{U_t} \div_{(s,\boldsymbol{x})} G(s,\boldsymbol{x}) \, ds\, d\boldsymbol{x} & = \iiint_{\partial U_t}G\cdot\nu\, dV_3 \\ & = \iiint_{\omega_t} f(t,\boldsymbol{x}) \, d\boldsymbol{x} - \iiint_{\omega_0} f(0,\boldsymbol{x}) \, d\boldsymbol{x} \end{align*} em que $\div_{(s,\boldsymbol{x})}$ designa o operador divergência em $\mathbb{R}^4$. Usando o teorema de Fubini para simplificar o lado esquerdo da igualdade anterior obtém-se \begin{align*}\iiiint_{U_t} \div_{(s,\boldsymbol{x})} G(s,\boldsymbol{x}) \, ds\, d\boldsymbol{x} & =\iiiint_{U_t} \frac{\partial f}{\partial s}+\div_{\boldsymbol{x}}(f(s,\boldsymbol{x})v(s,\boldsymbol{x}))\, ds\, d\boldsymbol{x} \\ & = \int_0^t \left(\iiint_{\omega_s}\frac{\partial f}{\partial s}+\div_{\boldsymbol{x}}(f(s,\boldsymbol{x})v(s,\boldsymbol{x})) d\boldsymbol{x}\right) ds \end{align*} em que $\div_{\boldsymbol{x}}$ designa o operador divergência em $\mathbb{R}^3$.

Nitidamente o argumento anterior também se estende a todo o $t\in I$ obtendo-se \[  \iiint_{\omega_t} f(t,\boldsymbol{x}) \, d\boldsymbol{x} - \iiint_{\omega_0} f(0,\boldsymbol{x}) \, d\boldsymbol{x}=\int_0^t \left(\iiint_{\omega_s}\frac{\partial f}{\partial s}+\div_{\boldsymbol{x}}(f(s,\boldsymbol{x})v(s,\boldsymbol{x})) d\boldsymbol{x}\right) ds  .\] Por aplicação do teorema fundamental do cálculo decorre da igualdade anterior a igualdade do teorema de Liouville que pretendíamos obter \[\frac{d}{dt} \iiint_{\omega_t} f(t,\boldsymbol{x}) \, d\boldsymbol{x} = \iiint_{\omega_t}\frac{\partial f}{\partial t}+\div_{\boldsymbol{x}}(f(t,\boldsymbol{x})v(t,\boldsymbol{x})) d\boldsymbol{x}. \] Fim de exemplo.

Exercício. Deduza a forma diferencial da lei de conservação da massa \[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\div_{\boldsymbol{x}}(\rho(t,\boldsymbol{x})v(t,\boldsymbol{x}))=0.\]

Exemplo (Fórmulas de Green). As fórmulas de Green são um corolário do teorema da divergência que se obtêm quando se considera que o campo vectorial $F$ tem a forma particular de um produto de um campo escalar por um gradiente. Mais precisamente seja $U\subset \mathbb{R}^n$ um domínio regular com normal unitária exterior $\nu$ e $\phi,\psi:\overline{U}\to\mathbb{R}$ duas funções de classe $C^2(\overline{U})$. Então \[\operatorname{div}(\phi\nabla \psi) = \nabla \phi\cdot \nabla \psi + \phi \Delta \psi\] em que $\Delta$ é um operador diferencial de segunda ordem, o laplaciano, definido por $\Delta=\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}$.

Então, tomando $F=\phi\nabla \psi$ na igualdade do teorema da divergência e notando que o produto interno do gradiente com $\nu$ é a derivada dirigida segundo $\nu$, obtém-se a primeira fórmula de Green \begin{equation}\int_U \nabla \phi \cdot \nabla \psi + \phi \Delta \psi \, d\boldsymbol{x} = \int_{\partial U} \phi \frac{\partial \psi}{\partial \nu} \, dV_{n-1}. \label{eq:pfG}\end{equation} Trocando o papel de $\phi$ e $\psi$ na fórmula anterior obtém-se \begin{equation}\int_U \nabla \psi \cdot \nabla \phi + \psi \Delta \phi \, d\boldsymbol{x} = \int_{\partial U} \psi \frac{\partial \phi}{\partial \nu} \, dV_{n-1}. \label{eq:sfG}\end{equation} Subtraindo membro a membro as equações ($\ref{eq:pfG}, \ref{eq:sfG}$) obtém-se a segunda fórmula de Green \begin{equation}\int_U  \phi \Delta \psi -\psi \Delta \phi \, d\boldsymbol{x} = \int_{\partial U} \phi \frac{\partial \psi}{\partial \nu}  - \psi \frac{\partial \phi}{\partial \nu} \, dV_{n-1}. \label{eq:fG}\end{equation}

Exemplo (solução fundamental da equação de Laplace). Seja $\psi:\mathbb{R}^n\setminus\{\boldsymbol{0}\}\to \mathbb{R}$ definida por \[\psi(\boldsymbol{x})=\begin{cases}\log \|\boldsymbol{x}\|, & \text{se } n=2,\\ \frac{1}{2-n}\|\boldsymbol{x}\|^{2-n}, & \text{se } n\gt 2.\end{cases}\] Estas funções são soluções radiais de $\Delta \psi=0$ em $\mathbb{R}^n\setminus\{\boldsymbol{0}\}$. Com efeito, usando $\frac{\partial}{\partial x_i} (\|\boldsymbol x\|)=\frac{x_i}{\|\boldsymbol x\|}$ e o teorema de derivação da função composta obtém-se \begin{align*}\frac{\partial\psi}{\partial x_ i }&= \frac{x_i}{\|\boldsymbol{x}\|^n},\\ \frac{\partial^2\psi}{\partial x_ i ^2}&= \frac{\|\boldsymbol{x}\|^n-nx_i^2 \|\boldsymbol{x}\|^{n-2}}{\|\boldsymbol{x}\|^{2n}},\end{align*} donde $\Delta \psi=0$.

Seja $\phi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ uma função de classe $C^2(\mathbb{R}^n)$ para a qual exista um bola $B$ tal que $\phi=0$ em $\mathbb{R}^n\setminus \overline{B}$. Vamos mostrar que existe $c_n\in\mathbb{R}$ tal que para qualquer $\boldsymbol{x}_0\in U$ temos \[\lim_{\epsilon\downarrow 0}\int_{B\setminus B_\epsilon(\boldsymbol{x}_0)}\psi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)\Delta \phi (\boldsymbol{x})\, d\boldsymbol{x}= c_n \phi(\boldsymbol{x}_0).\]

Vamos usar ($\ref{eq:fG}$) com $U$ substituído por $B\setminus B_\epsilon(\boldsymbol{x}_0)$ e $\psi(\boldsymbol{x})$ susbtituído por $\psi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)$ para obter, notando que sobre $\partial B$ temos $\phi$ e $\nabla \phi$ nulas, \[\int_{B\setminus B_{\epsilon(\boldsymbol{x}_0)}}\psi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)\Delta \phi (\boldsymbol{x})\, d\boldsymbol{x}=-\int_{\partial B_\epsilon(\boldsymbol{x}_0)}\psi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)\frac{\partial \phi}{\partial \nu}-\phi(\boldsymbol{x})\frac{\partial}{\partial \nu}\left(\psi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)\right)\, dV_{n-1}\] em que $\nu$ é a normal unitária exterior a $\partial B_\epsilon(\boldsymbol{x}_0)$ (e daí o sinal $-$ no segundo membro).

Temos \[\left|\int_{\partial B_\epsilon(\boldsymbol{x}_0)}\psi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)\frac{\partial \phi}{\partial \nu}\, dV_{n-1}\right|\leq \begin{cases} M \omega_2 \epsilon |\log \epsilon|, & \text{ se } n=2, \\ M \omega_n \epsilon^{n-1} \epsilon^{2-n} = M\omega_n\epsilon, &\text { se } n\gt 2 ,\end{cases} \] em que $M\gt 0$ é um majorante de $\|\nabla \phi\|$ em $\overline{B}$ e $\omega_n$ é o volume $n-1$ dimensional da fronteira da bola de raio $1$. Em qualquer dimensão temos então \[\lim_{\epsilon\downarrow 0}\int_{\partial B_\epsilon(\boldsymbol{x}_0)}\psi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)\frac{\partial \phi}{\partial \nu}\, dV_{n-1} =0.\]

Por outro lado, usando que $\frac{\partial}{\partial \nu}(\psi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0))$ sobre $\partial B_\epsilon(\boldsymbol{x}_0)$ vale $\epsilon^{1-n}$, \[ \begin{split}&\left|\omega_n\phi(\boldsymbol{x}_0) - \int_{\partial B_\epsilon(\boldsymbol{x}_0)} \phi(\boldsymbol{x})\frac{\partial}{\partial \nu}(\psi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0))\, dV_{n-1} \right| \\ & = \left|\frac{1}{{\epsilon}^{n-1}}\int_{\partial B_\epsilon(\boldsymbol{x}_0)} \phi(\boldsymbol{x}_0) \, dV_{n-1} - \int_{\partial B_\epsilon(\boldsymbol{x}_0)} \phi(\boldsymbol{x})\frac{\partial}{\partial \nu}(\psi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0))\, dV_{n-1} \right| \\ & \leq \omega_n \max_{\boldsymbol{x}\in\partial B_\epsilon(\boldsymbol{x}_0)} |\phi(\boldsymbol{x})-\phi(\boldsymbol{x}_0)|\end{split}\] Usando a continuidade de $\phi$ obtemos então o resultado pretendido com $c_n=\omega_n$.

A função $\frac{1}{\omega_n}\psi$ é conhecida por solução fundamental do operador $\Delta$ justamente devido a esta propriedade.