Teorema de Stokes

O teorema de Stokes é mais um resultado que pode ser considerado como uma extensão do teorema de Green ou da regra de Barrow. Da mesma forma que fizemos para o teorema da divergência, verificaremos a fórmula que é garantida pelo teorema em circunstâncias particulares muito simples e discutiremos a estratégia da sua generalização e as dificuldades que encontramos. O teorema vai garantir a validade da igualdade em que é uma variedade-2 com bordo e orientável com normal unitária contínua em , é um campo de classe , e o sentido em que se percorre e a normal unitária estão relacionados pela regra da mão direita (note que foram indicados a itálico termos que ainda temos de esclarecer minimamente).

Exemplo (Verificação da igualdade do teorema de Stokes no caso em que é uma vizinhança de coordenadas descrita explicitamente por uma função de classe e só tem uma coordenada não nula). Seja um aberto limitado cuja fronteira é uma linha fechada seccionalmente em , uma função de classe , , . Nesta situação, considerando que tem terceira coordenada positiva e é percorrida no sentido directo do ponto de vista de um observador situado em , () reduz-se a Iremos verificar a igual reduzindo o integral de linha a um integral no plano , aí aplicando o teorema de Green e finalmente notando que a expressão obtida corresponde ao integral de superfície.

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Suponhamos que é parametrizada por , , . Temos Agora aplicamos o teorema de Green no plano e rearranjamos a última expressão para a podermos interpretar como um integral de superfície em calculado via uma representação explícita em que a normal unitária a é em que deve notar a escolha de sentido da normal que é consequência da aplicação do teorema de Green. Note (veja a figura) que para um observador sobre , orientado dos pés para a cabeça como a normal, e perto de , esta linha aparenta localmente ser percorrida no sentido directo. Tal constitui a regra de orientação popularizada em Física e Engenharia como a “regra da mão direita” para verificarmos a coerência de orientação de linhas e superfícies ao aplicarmos o teorema de Stokes.

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Fim de exemplo.

Note que falaremos de bordo de uma superfície em , por analogia com o exemplo em que consideramos como o bordo de . O bordo será a imagem de uma ou mais linhas limitando um aberto onde estão definidos os parâmetros através de uma representação paramétrica que descreve a superfície (ou parte dela). Exigimos à representação paramétrica as propriedades exigidas às representações paramétricas na definição de variedade- em num aberto contendo .

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Relembramos que a superfície se diz orientável se existir uma normal unitária contínua sobre a superfície. Tal é nitidamente o caso no exemplo anterior.

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Uma questão mais delicada relativamente ao exemplo é termos suposto a superfície de classe . O resultado continua válido se a superfície for de classe mas abordar o argumento de aproximação necessário está para além dos objectivos do curso.

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Exercício (Interpretação geométrica do rotacional). Podemos obter, de uma forma análoga ao que fizemos para o operador , o rotacional como limite de quocientes de integrais de linha e áreas de superfície. Seja um aberto, , tal que , um vector unitário de e uma função de class . Definimos como sendo o círculo de raio centrado em e com normal unitária . Se a circunferência de , que designaremos por , for percorrida uma vez de acordo com a regra da mão direita relativamente a por um caminho , mostre que Fim de exemplo.

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O exemplo seguinte ilustra como tirar partido do teorema de Stokes para evitar cálculos de integrais de linha ou de fluxos de rotacionais relativamente complexos. Vai ser essencial identificar correctamente a relação entre a superfície, o seu bordo, o sentido em que este é percorrido e o sentido da normal à superfície a considerar.

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