Sucessões em \(\mathbb{R}^n\)

Introduzem-se as sucessões em \(\mathbb{R}^n\) e a respectiva noção de limite. Mostra-se que o estudo da convergência se reduz ao estudo da convergência das sucessões coordenadas.

As aplicações definidas num subconjunto ilimitado de \(\mathbb{N}\) com valores em \(\mathbb{R}^n\) são designadas por sucessões em \(\mathbb{R}^n\) e desempenham neste curso um papel análogo ao que já desempenhavam na estruturação da teoria do Cálculo Infinitesimal de funções reais de variável real.

Exemplo. A aplicação

\[ \{k\in\mathbb{N}:k\gt 0\} \mapsto \left(\frac{1}{k}, k\right)\in \mathbb{R}^2\]

é uma sucessão em \(\mathbb{R}^2\).

Reservamos para as sucessões em \(\mathbb{R}^n\), de forma análoga ao que fazí­amos em \(\mathbb{R}\), uma notação algo diferente das funções em geral. Falaremos de uma sucessão \((\boldsymbol{a}_k)_{k\in\mathbb{N}}\), ou simplesmente \((\boldsymbol{a}_k)\), como estando definida pelo termo geral \(\boldsymbol{a}_k\) via, retomando o exemplo anterior,

\[ \boldsymbol{a}_k = \left(\frac{1}{k}, k\right).\]

De uma forma natural falamos de sucessões coordenadas que, neste caso, seriam

\[a_{1k}=\frac{1}{k},\]

\[a_{2k}=k.\]

Em geral designaremos as sucessões coordenadas por \((a_{jk})\), \(j=1,\dots,n\). [Tentaremos usar a letra \(j\) para o í­ndice das coordenadas em \(\mathbb{R}^n\) e \(k\) para o í­ndice da sucessão. Isto é só uma convenção para evitar confusão notacional.]

Definição (limite de uma sucessão, sucessão convergente). Diz-se que uma sucessão \((\boldsymbol{a}_k)\) tem limite \(\boldsymbol{a}\in\mathbb{R}^n\), ou que é convergente com limite \(\boldsymbol{a}\), escrevendo-se $\lim_{k\to\infty}\boldsymbol{a}_k= \boldsymbol{a}$, se \[\lim_{k\to\infty} \|\boldsymbol{a}_{k}-\boldsymbol{a}\|=0.\]

[Não confundir, tal como em \(\mathbb{R}\), com sucessão limitada!]

Definição (sucessão limitada). Uma sucessão diz-se limitada se o conjunto dos seus termos for um conjunto limitado.

Exercício. Prove (isto é análogo ao que se fez em \(\mathbb{R}\)) que uma sucessão convergente é limitada; dê exemplo de uma sucessão limitada não convergente.

Definição (limite infinito). Diz-se que uma sucessão \((\boldsymbol{a}_k)\) tem limite $\infty$, escrevendo-se $\lim_{k\to\infty}\boldsymbol{a}_k= \infty$, se $\lim_{k\to\infty}\|\boldsymbol{a}_k\|=+\infty$.

Exercício. Dê um exemplo de uma sucessão em \(\mathbb{R}^2\) com limite $\infty$ para a qual nenhuma das sucessões coordenadas tenha limite $\infty$.

É uma consequência fácil da definição de convergência que

Teorema (limite e convergência coordenada a coordenada). Uma sucessão em \(\mathbb{R}^n\) converge se e só se cada uma das suas sucessões coordenadas convergir. Além disso o limite é o vector formado pelos limites coordenada a coordenada.

Tal reduz o estudo de sucessões convergentes em \(\mathbb{R}^n\) ao que já conhecíamos em \(\mathbb{R}\). Neste espírito podemos por exemplo considerar a demonstração de

Teorema (Bolzano-Weierstrass). Seja \((\boldsymbol{a}_k)\) uma sucessão limitada em \(\mathbb{R}^n\). Então possui subsucessões convergentes.

Ideia de demonstração. A primeira sucessão coordenada será limitada em \(\mathbb{R}\). Pelo teorema de Bolzano-Weierstrass para sucessões reais possui uma subsucessão convergente. A respectiva escolha de índices define uma subsucessão da sucesssão original que obviamente ainda é limitada e em que a primeira sucessão coordenada é convergente. Para esta subsucessão extraia-se uma subsucessão de maneira à segunda sucessão coordenada ser convergente. Para a respectiva escolha de índices a primeira sucessão coordenada continua a ser convergente. Etc. Fim da ideia de demonstração.

Corolário (caracterização dos limitados usando sucessões). $A\subset\mathbb{R}^n$ é limitado se e só se uma qualquer sucessão de termos em $A$ possui uma subsucessão convergente.

Demonstração. Se $A$ for limitado esta caracterização decorre do teorema de Bolzano-Weierstrass. Se $A$ não for limitado, para cada $k\in\mathbb{N}$ existe $\boldsymbol{x}_k\in A$ tal que $\|\boldsymbol{x}_k\|\gt k$. A sucessão $(\boldsymbol{x}_k)_k$ não possui subsucessões convergentes pois qualquer uma das suas subsucessões será ilimitada e portanto não convergente.