Exemplo. Considere o subconjunto de $\mathbb{R}^3$, que costumamos designar por (superfície de uma) esfera (de raio $1$ centrada em $(0,0,0)$), definido por \[\begin{equation}\begin{split} S^2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x=\cos \theta \operatorname{sen}\phi, y= \operatorname{sen} \theta \operatorname{sen}\phi, z= \cos\phi, \\ \theta\in [0,2\pi],  \phi\in [0,\pi]\}.  \end{split}\label{esfera:1}\end{equation}\]

Note que ($\ref{esfera:1}$) é uma definição que usa o contradomínio de uma aplicação $\boldsymbol{r}:\mathbb{R}^2 \supset [0,2\pi]\times [0,\pi]  \to \mathbb{R}^3$ definida por $\boldsymbol{r}(\theta,\phi)=(\cos \theta \operatorname{sen}\phi,\operatorname{sen} \theta \operatorname{sen}\phi,\cos\phi)$. Nitidamente $S^2$ é um conjunto que queremos designar como uma variedade-$2$ (ou variedade bidimensional). Este tipo de descrição de uma variedade designa-se como sendo por representações paramétricas. $\boldsymbol{r}$ é uma representação paramétrica e designamos $\theta$ e $\phi$ como parâmetros.

Relembremos no entanto que já encontrámos $S^2$ como sendo $\partial B_1(\boldsymbol{0})$, a fronteira da bola de raio $1$ centrada em $\boldsymbol{0}$, e, nessa altura, o que nos conviu foi considerar como descrição do conjunto correspondia a \[\begin{equation}\partial B_1(\boldsymbol{0})=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=1\}.\label{esfera: 2}\end{equation}\] Nesta forma descrevemos $S^2$ como um conjunto de zeros de uma aplicação $F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ definida por $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1$. Dizemos que esta é uma representação implícita de $S^2$.

Existe ainda uma outra forma de lidar como $S^2$. Poderíamos ter considerado $S^2$ como a união de gráficos de funções definidas em subconjuntos de $\mathbb{R}^2$ com valores $\mathbb{R}$. Por exemplo, $S^2=H_N\cup H_S$ com \[\begin{align}H_N & =\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: z=\sqrt{1-x^2-y^2}, (x,y)\in \overline{B}_1(0,0)\right\},\\ H_S & =\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: z=-\sqrt{1-x^2-y^2}, (x,y)\in \overline{B}_1(0,0)\right\}.\end{align}\] Designaremos este processo para descrever $S^2$ como sendo uma representação explícita. Fim de exemplo.

Exemplo. Retomamos o exemplo anterior tentando provar que $S^2$ é uma variedade diferenciável de dimensão $2$ e de classe $C^\infty$. Como definimos $S^2$ via uma representação paramétrica $\boldsymbol{r}$, tentamos usá-la para verificar a definição.

Uma primeira dificuldade consiste em $\boldsymbol{r}$ não ter por domínio um aberto nem ser injectiva. No entanto, se restringirmos $\boldsymbol{r}$ a ${]0,2\pi[}\times{]0,\pi[}$, esta restrição, que continuaremos a designar $\boldsymbol{r}$, já é injectiva, definida num aberto, de classe $C^\infty$ e tem inversa contínua. O seu contradomínio contém todos os pontos de $S^2$ excepto um "semi-meridiano" \[L=\{(x,0,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+z^2=1, x\geq 0\}.\] Assim, começamos por lidar com todos os pontos em $S^2\setminus L$. Se $\boldsymbol{r}(\theta_0,\phi_0)=(x_0,y_0,z_0)$ for um tal ponto temos \[J_\boldsymbol{r}(\theta_0,\phi_0) = \begin{bmatrix} -\operatorname{sen}\theta_0 \operatorname{sen}\phi_0 & \cos\theta_0  \cos\phi_0  \\ \cos\theta_0  \operatorname{sen}\phi_0 & \operatorname{sen}\theta_0  \cos \phi_0  \\ 0 & - \operatorname{sen}\phi_0 \end{bmatrix}\] Para que a aplicação linear definida por uma tal matriz seja injectiva a matriz deverá conter duas linhas linearmente independentes qualquer que seja o $(\theta_0,\phi_0)\in{]0,2\pi[}\times {]0,\pi[}$. Para verificarmos esta condição (que deve ser quase evidente pois, excepto nos pólos, $\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial\theta}$ e $\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial\phi}$ são não nulas e definem rectas tangentes a um meridiano e a um paralelo que são ortogonais) calculamos os determinantes das submatrizes jacobianas $2\times 2$. Obtemos: \[\begin{align*}\det \frac{\partial(x,y)}{\partial(\theta,\phi)} & = \det\begin{bmatrix}-\operatorname{sen}\theta_0 \operatorname{sen}\phi_0 & \cos\theta_0  \cos\phi_0  \\ \cos\theta_0  \operatorname{sen}\phi_0 & \operatorname{sen}\theta_0  \cos \phi_0\end{bmatrix} = -\operatorname{sen}\phi_0\cos\phi_0 \\ \det \frac{\partial(x,z)}{\partial(\theta,\phi)} & = \det\begin{bmatrix}-\operatorname{sen}\theta_0 \operatorname{sen}\phi_0 & \cos\theta_0  \cos\phi_0  \\ 0 & -\operatorname{sen} \phi_0\end{bmatrix} = \operatorname{sen}\theta_0\operatorname{sen}^2\phi_0 \\ \det \frac{\partial(y,z)}{\partial(\theta,\phi)} & = \det\begin{bmatrix} \cos\theta_0  \operatorname{sen}\phi_0 & \operatorname{sen}\theta_0  \cos \phi_0 \\ 0 & -\operatorname{sen} \phi_0\end{bmatrix} = -\cos\theta_0\operatorname{sen}^2\phi_0\end{align*} \] Como $\phi_0\in \; ]0,\pi[$ temos $\operatorname{sen}^2\phi_0\gt 0$ e daí que os valores dos dois últimos subdeterminantes não se podem anular simultaneamente.

Resta-nos lidar com os pontos de $L$. Faça-o considerando uma representação paramétrica adicional obtidas de $\boldsymbol{r}$ por permutação de $x$, $y$ e $z$ na sua definição (cujos pólos estarão em $(0,1,0)$ e $(0,-1,0)$). Fim de exemplo.

Exemplo. No exemplo anterior não oferece dúvidas que as inversas das representações paramétricas usadas na verificação são contínuas. Para que o leitor não duvide que tal condição é de facto necessária para excluir conjuntos que não queremos que sejam variedades considere \[\mathcal{L}=\{(2\operatorname{sen}t, \operatorname{sen}(2t)):t\in\;]0,2\pi[\}.\]

Embora o caminho (representação paramétrica) ${]0,2\pi[}\ni t\mapsto (2\operatorname{sen} t, \operatorname{sen}(2t))$ tenha todas as propriedades desajadas relativamente a um qualquer ponto de $\mathcal{L}$ excepto $(0,0)$, qualquer inversa deste caminho com domínio restringido a uma vizinhança de $(0,0)$ não é uma função contínua. Isto não é suficiente para afirmarmos que $\mathcal{L}$ não é uma variedade pois poderia haver outro caminho que verificasse essas condições. Designemos um tal caminho por $\alpha:\;]a,b[\;\to \mathcal{L}$ em que $(0,0)=\alpha(c)$ com $a\lt c\lt b$. Existe uma vizinhança de $(0,0)$, $V$, tal que $\alpha(]a,b[)=\mathcal{L}\cap V$. Adapte o exercício em que mostrámos que não existia uma aplicação contínua e injectiva definida na união de 3 segmentos no plano com um único ponto em comum e com valores em $\mathbb{R}$, para mostrar que $\alpha^{-1}$ não pode ser contínua. Fim de exemplo.

Para enunciarmos uma das caracterizações equivalentes de variedade diferenciável precisaremos da noção de permutação.

Definição (Permutação em $\mathbb{R}^n$). Uma aplicação linear de $\mathbb{R}^n$ em $\mathbb{R}^n$ diz-se uma permutação se for representada por uma matriz cujos elementos são $0$s ou $1$s e em cada linha ou coluna existe só um elemento que é $1$ sendo os restantes $0$. Fim de definição.

Note que o efeito de uma permutação sobre um vector de $\mathbb{R}^n$ é permutar as coordenadas do vector.

Exemplos. São exemplos de permutações a aplicação identidade e aplicações como \[\begin{align*}(x,y) & \mapsto (y,x) \\ (x,y,z,w)&\mapsto (z,x, y,w).\end{align*}\] É fácil ver que a composição de permutações é uma permutação e que todas as permutações têm uma inversa que também é uma permutação.

RE $\Rightarrow$ RP

Suponha-se que numa vizinhança de $\boldsymbol{x}_0\in M$ vale como descrição de $M$ nessa vizinhança (já após uma permutação de variáveis se necessário) \[ \begin{cases} x_{k+1} = g_1(x_1,\dots, x_k),  \\  \dots   \\ x_{n}  = g_{n-k}(x_1,\dots, x_k). \end{cases}\] em que as funções $g_1, \dots , g_{n-k}$ são de classe $C^j$. É fácil construir uma representação paramétrica de maneira a verificar RP via \[\boldsymbol{r}(x_1,\dots, x_k) = (x_1, \dots, x_k, g_1(x_1,\dots, x_k), \dots g_{n-k}(x_1,\dots, x_k)).\] Precisamos ainda de verificar que $\boldsymbol{r}$ verifica as propriedades exigidas por RP. Temos que $\boldsymbol{r}$ é obviamente injectiva e a sua inversa é a projecção nas $k$ primeiras coordenadas que verificamos ser contínua. Além disso a matriz jacobiana de $\boldsymbol{r}$ tem a estrutura \[\begin{bmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots  \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \frac{\partial g_1}{\partial x_1} & \frac{\partial g_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial g_1}{\partial x_k} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \frac{\partial g_{n-k}}{\partial x_1} & \frac{\partial g_{n-k}}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial g_{n-k}}{\partial x_k} \end{bmatrix}\] A submatriz identidade $k\times k$ garante que $D \boldsymbol{r}$ é injectiva.

RE $\Rightarrow$ RI

Suponha-se que numa vizinhança de $\boldsymbol{x}_0\in M$ vale como descrição de $M$ nessa vizinhança (já após uma permutação de variáveis se necessário) \[ \begin{cases} x_{k+1}= g_1(x_1,\dots, x_k),  \\  \dots &  \\ x_{n} = g_{n-k}(x_1,\dots, x_k). \end{cases}\] em que as funções $g_1, \dots , g_{n-k}$ são de classe $C^j$. É fácil construir uma representação implícita de maneira a verificar RI via $F(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}$ definindo \[F(x_1,\dots, x_n)= (x_{k+1}-g_1(x_1,…,x_k),\dots, x_{n}-g_{n-k}(x_1,…,x_k)).\] Obviamente $F\in C^j$ e a sua matriz jacobiana tem a forma \[\begin{bmatrix}-\frac{\partial g_1}{\partial x_1} & \cdots & -\frac{\partial g_1}{\partial x_k} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ -\frac{\partial g_{n-k}}{\partial x_1} & \cdots & -\frac{\partial g_{n-k}}{\partial x_k} & 0 & 0 & \cdots &  1 \end{bmatrix}\] A presença de uma submatriz identidade $(n-k)\times (n-k)$ garante que $DF$ é sobrejectiva.

RI $\Rightarrow$ RE

Suponha-se que numa vizinhança de $\boldsymbol{x}_0\in M$ vale como descrição de $M$ nessa vizinhança \[\begin{cases}F_{k+1}(x_1,\dots,x_n)=0, \\ \dots \\ F_{n}(x_1,\dots,x_n)=0.\end{cases}\] com $F=(F_{k+1}, \dots, F_n)$, $F\in C^j$ e sendo a derivada $DF$ sobrejectiva nessa vizinhança. Suponha-se, a menos de uma permutação de variáveis, que é $\det \frac{\partial F}{\partial(x_{k+1},\dots,x_n)}\neq 0$. Então o teorema da função implícita garante que existe uma vizinhança (possivelmente mais pequena) de $\boldsymbol{x}_0$ aonde o sistema anterior define implicitamente uma função $g$ definida na projecção dessa vizinhança em $\mathbb{R}^k$ e com valores em $\mathbb{R}^{n-k}$ tal que $F(x_1,\dots,x_k, g(x_1,\dots,x_k))=0$. Assim \[ \begin{cases} x_{k+1} = g_1(x_1,\dots, x_k),  \\  \dots &  \\ x_{n}  = g_{n-k}(x_1,\dots, x_k). \end{cases}\] define uma representação explícita válida numa vizinhança de $\boldsymbol{x}_0$.

RP $\Rightarrow$ RE

Suponha-se que numa vizinhança de $\boldsymbol{x}_0\in M$ vale como descrição de $M$ nessa vizinhança uma representação paramétrica \[\boldsymbol{x}=r(\boldsymbol{t})\]em que $\boldsymbol{t}\in U\subset\mathbb{R}^k$ com $U$ aberto, $r\in C^j(U)$, $Dr$ injectiva em $U$, $r$ injectiva e com inversa contínua. A matriz jacobiana de $r$ tem uma estrutura \[\begin{bmatrix}\frac{\partial x_1}{\partial t_1} & \frac{\partial x_1}{\partial t_2} & \dots & \frac{\partial x_1}{\partial t_k} \\ \frac{\partial x_2}{\partial t_1} & \frac{\partial x_2}{\partial t_2} & \dots & \frac{\partial x_2}{\partial t_k} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \frac{\partial x_k}{\partial t_1} & \frac{\partial x_k}{\partial t_2} & \dots & \frac{\partial x_k}{\partial t_k} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \frac{\partial x_n}{\partial t_1} & \frac{\partial x_n}{\partial t_2} & \dots & \frac{\partial x_n}{\partial t_k}\end{bmatrix}\]

Exemplo (Toro). Sejam $0\lt r \lt R$ e defina-se o toro \[\mathbb{T}^2=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: \left (\sqrt{x^2+y^2}-R\right)^2+z^2= r^2\right\}.\]

Note que $\mathbb{T}^2$ pode ser considerado como a superfície que obtemos rodando a circunferência $\left(x-R\right)^2+z^2= r^2$ em torno do eixo dos $zz$.

Vamos verificar que $\mathbb{T}^2$ é uma variedade-2 usando a caracterização de variedade via representações implícitas.

Definimos $F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ via $F(x,y,z)=\left (\sqrt{x^2+y^2}-R\right)^2+z^2- r^2$. Note-se que $F\in C^\infty(\mathbb{R}^3\setminus Z)$ em que $Z$ designa o eixo dos $zz$, $Z=\{(0,0,z)\in\mathbb{R}^3\}$, e que $\mathbb{R}^3\setminus Z$ é um aberto contendo $\mathbb{T}^2$. Além disso $\mathbb{T}^2$ é o conjunto de zeros de $F$ e \[J_F(x,y,z)=\begin{bmatrix}\frac{2x\left (\sqrt{x^2+y^2}-R\right)}{\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{2y\left (\sqrt{x^2+y^2}-R\right)}{\sqrt{x^2+y^2}} & 2z \end{bmatrix}.\] A condição de $DF$ ser sobrejectiva nos pontos de $\mathbb{T}^2$ corresponde a existir uma coluna linearmente independente nesta matriz o que se reduz muito simplesmente a existir um elemento não nulo nesta matriz para todos os pontos de $\mathbb{T}^2$. Se $z\neq 0$ tal condição é satisfeita graças ao elemento da terceira coluna. Para concluir basta notar que se $z=0$ em pontos de $T$ então  \[J_F(x,y,0)=\begin{bmatrix}\frac{2x\left (\sqrt{x^2+y^2}-R\right)}{\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{2y\left (\sqrt{x^2+y^2}-R\right)}{\sqrt{x^2+y^2}} & 0 \end{bmatrix}\] e os elementos da primeira e segunda coluna não podem ser nulos simultaneamente pois sobre $\mathbb{T}^2$ com $z=0$ temos $\left|\sqrt{x^2+y^2}-R\right|=r\gt 0$ e $(0,0,0)\not\in T$. Fim de exemplo.

Exercício. Mostre que se tomarmos $R=r$ na discussão do toro obtemos um conjunto que não é uma variedade. Para tal mostre que a intersecção do conjunto com uma bola centrada em $(0,0,0)$ não é o gráfico de uma função que dê uma variável em função das restantes.

Espaço tangente e espaço normal

Vamos estar interessados em propriedades intrínsecas de variedades, isto é, propriedades que são independentes da forma como descrevemos a variedade. Duas tais propriedades são a noção de espaço tangente e de espaço normal num ponto de uma variedade. A motivação para definirmos espaço tangente é a necessidade de estabelecermos quais são os vectores tangentes a uma variedade num ponto.

Definição (Espaço tangente e espaço normal). Dados uma variedade $M$ e um ponto $\boldsymbol{x}_0\in M$, diz-se que um vector $\boldsymbol{v}\in \mathbb{R}^n$ é tangente a $M$ em $\boldsymbol{x}_0$ se existe um intervalo aberto I de $\mathbb{R}$, um caminho diferenciável $\alpha:I \to M$ tal que  $\alpha(\lambda)=\boldsymbol{x}_0$ e $\alpha'(\lambda)=\boldsymbol{v}$ para um certo $\lambda\in I$. Ao conjunto de todos os vectores tangentes a $M$ em $\boldsymbol{x}_0$ dá-se o nome de espaço tangente a $M$ em $\boldsymbol{x}_0$, abreviadamente $T_M(\boldsymbol{x}_0)$. O conjunto de todos os vectores de $\mathbb{R}$ ortogonais a todos os vectores tangentes designa-se por espaço normal a $M$ em $\boldsymbol{x}_0$, $N_M(\boldsymbol{x}_0)$.

Proposição. O espaço tangente $T_M(\boldsymbol{x}_0)$ é um subespaço vectorial de $\mathbb{R}^n$ de dimensão igual à da variedade e o espaço normal $N_M(\boldsymbol{x}_0)$ é o seu complemento ortogonal.

Demonstração. Considere-se uma qualquer representação paramétrica $r(\boldsymbol{t})$ válida (no sentido da definição de variedade) para $M$ numa vizinhança de $\boldsymbol{x}_0$ com $r(\boldsymbol{t}_0)=\boldsymbol{x}_0$. Considere-se um caminho $\alpha(\lambda)=r(\boldsymbol{t}_0+\lambda \boldsymbol{w})$ em que $\lambda$ pertence a uma vizinhança suficientemente pequena de $0$. Temos $\alpha(0)=\boldsymbol{x}_0$ e $\alpha'(0)=Dr(\boldsymbol{t}_0)( \boldsymbol{w})$. Verificamos assim que qualquer combinação linear de vectores coluna de $J_r(\boldsymbol{t}_0)$ é um elemento do espaço tangente. Dado que $Dr(\boldsymbol{t}_0)$ é injectiva os vectores coluna de $J_r(\boldsymbol{t}_0)$ são linearmente independentes e o espaço tangente contém o subespaço vectorial de dimensão $k$ de $\mathbb{R}^n$ gerado por estes vectores.

Considere-se agora uma qualquer representação implícita $F(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}$ caracterizando $M$ numa vizinhança de $\boldsymbol{x}_0$. Um caminho diferenciável $\beta$ com $\beta(0)=\boldsymbol{x}_0$ e $\beta(\lambda)\in M$ numa vizinhança de $0$ verifica $F(\beta(\lambda))=\boldsymbol{0}$ nessa mesma vizinhança de $0$ de maneira que também $DF(\beta(\lambda))\beta'(\lambda)=\boldsymbol{0}$ identicamente nessa vizinhança. Em particular, $DF(\boldsymbol{x}_0)\beta'(0)=\boldsymbol{0}$, pelo que $\beta'(0)$ é ortogonal a qualquer vector $\nabla F_i(\boldsymbol{x}_0)$ com $i=1,\dots,n-k$. Como os $\nabla F_i(\boldsymbol{x}_0)$ são linearmente independentes, devido à sobrejectividade de $DF_i(\boldsymbol{x}_0)$, obtivemos que o espaço tangente está contido no complemento ortogonal dum subespaço vectorial de $\mathbb{R}^n$ de dimensão $n-k$.

Considerando simultaneamente as duas conclusões que já obtivemos, verificamos que o espaço tangente é um subespaço vectorial de dimensão $k$ de $\mathbb{R}^n$, que tanto pode ser explicitado como gerado por uma base formada por todos os $\frac{\partial r}{\partial t_j}(\boldsymbol{t}_0)$ ($j=1,\dots,k$) para qualquer representação paramétrica $r(\boldsymbol{t})$ que descreva $M$ numa vizinhança de $\boldsymbol{x}_0$ com $r(\boldsymbol{t}_0)=\boldsymbol{x}_0$, ou como o complemento ortogonal de um subespaço de dimensão $n-k$ de $\mathbb{R}^n$ gerado por todos os vectores $\nabla F_i(\boldsymbol{x}_0)$ ($i=1,\dots,n-k$) para qualquer representação implícita $F(\boldsymbol{x})=0$ que descreva $M$ numa vizinhança de $\boldsymbol{x}_0$. Fim de demonstração.

Exemplo. Considere-se a hélice definida por $H=\{(\cos t, \sen t, t): t\in \mathbb{R}\}$. Trata-se de uma variedade unidimensional pois a aplicação $r:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3$ definida por $r(t)=(\cos t, \sen t, t)$ verifica $r\in C^\infty(\mathbb{R})$, é injectiva e com inversa contínua ($r(t)\mapsto t$) com $r'(t)=(-\sen t, \cos t, t)\neq (0,0,0) \forall_{t\in\mathbb{R}}$. No ponto $\boldsymbol{u}_0=r(\frac{\pi}{2})=\left(0,1, \frac{\pi}{2}\right)$ temos $r'(\frac{\pi}{2})=(-1,0,1)$ e consequentemente \begin{align*}T_H(\boldsymbol{u}_0) &=\{(-\lambda,0, \lambda): \lambda \in \mathbb{R}\},\\ N_H(\boldsymbol{u}_0)&=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: -x+z =0\}. \end{align*}

Exemplo. Considere-se a esfera $S^2$ e o ponto $P=(\sqrt{3}/3, \sqrt{3}/3, \sqrt{3}/3)$.

Para determinar o espaço tangente e o espaço normal a partir duma representação implícita consideramos $F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ definida por $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1$. A representação implícita $F(x,y,z)=0$ caracteriza $S^2$ como variedade-2 pois $F\in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ e temos para a respectiva matriz jacobiana \[J_F(x,y,z)=\begin{bmatrix} 2x & 2y & 2z\end{bmatrix}\] que tem um número de colunas linearmente independentes igual a $1$ em pontos de $S^2$.

Temos \[J_F(P)=\begin{bmatrix} 2\sqrt{3}/3 & 2\sqrt{3}/3 & 2\sqrt{3}/3\end{bmatrix}\] pelo que \[\begin{align*}N_{S^2}(P) & =\{(\lambda, \lambda, \lambda)\in \mathbb{R}^3: \lambda\in \mathbb{R}\}, \\ T_{S^2}(P) & = \{(x, y, z)\in \mathbb{R}^3:x+y+z=0\}.\end{align*}\]