Exemplos de cálculo de integrais usando mudança de variáveis
Decidir quando usar uma mudança de variáveis para efectuar um cálculo de um integral ou que mudança de variáveis considerar entre várias possibilidades não são em geral questões de resposta simplista. No entanto há, em geral, duas questões básicas a considerar:
A mudança de variáveis simplifica a descrição da região de integração?
A mudança de variáveis simplifica a função integranda?
Os exemplos seguintes ilustram, entre outros, este tipo de decisões.
Exemplo (volume de ). Seja . A aplicação linear transforma a bola de raio centrada em na bola de raio centrada em . Trata-se de uma transformação linear representada por uma matriz diagonal com s na diagonal principal. O respectivo determinante é com a dimensão do espaço. Obtém-se . Usando translacções, que deixam o volume invariante, para qualquer .
Exemplo (volume de um elipsóide). Sejam . A aplicação linear transforma a bola no elipsóide com semi-eixos de comprimentos , e . A aplicação linear é representada pela matriz com determinante pelo que o o volume do elipsóide é .
Elipsóide definido por .
Exemplo. Voltamos a considerar um exemplo que já tratámos via coordenadas cartesianas. Seja e definida por e consideramos o cálculo do integral .
Note-se que neste momento do curso podemos afirmar que o integral existe pois é contínua e tem medida nula, algo que da primeira vez que analisámos este problema omitimos.
Vamos considerar uma mudança de variáveis que simultaneamente se revelará bem adaptada à região de integração e à função integranda. Seja definida por
A região e o novo sistema de coordenadas
Note que tem linhas de nível correspondentes a ramos de hipérbole com e tem linhas de nível correspondentes a semirectas de equação com , . A matriz jacobiana de é
Como nitidamente é e injectiva no seu domínio, o interior do primeiro quadrante, e , podemos afirmar que possui uma inversa , , verificando .
Em termos das novas coordenadas e , é transformado no intervalo .
Assim Fim de exemplo.
A vantagem na utilização da mudança de coordenadas no exemplo anterior consistiu na simplificação da região de integração. O exemplo seguinte ilustra uma situação em que é a alteração da função integranda que nos possibilita completar um cálculo.
Exemplo. Considere a função definida por e o problema de calcular . Note que a função está bem definida (isto é, para cada valor de o integral existe), para todo o e é uma função estritamente crescente (porquê?). Daí que o limite existe ou como um número positivo ou sendo .
Se tentarmos calcular o integral pelo teorema de Fubini e regra de Barrow obtemos mas a utilização da regra de Barrow esbarra com o facto da função não ser elementarmente primitável. Para ultrapassarmos esta dificuldade vamos considerar o problema análogo em que o quadrado é substituído pela bola . Mais precisamente define-se via notamos que para todo o temos (porquê?) e daí que .
Vamos agora usar coordenadas polares para calcular . Definimos via para e . Note que se considerarmos esta função restrita a e a função assim definida é num aberto e é uma bijecção cujo contradomínio é excepto no semi-eixo positivo dos s, um conjunto de medida bidimensional nula. Temos para a matriz jacobiana de cujo módulo do determinante é Pode então efectuar-se o cálculo Passando ao limite obtém-se que
Exemplo. Considere-se o problema que consiste em calcular as coordenadas do centróide (ou, se preferir, o centro de massas, suposto o corpo de densidade constante) da região de definida por
O centróide tem por coordenadas
A região . Note que pode ser considerada como obtida por rotação do conjunto em torno do eixo dos s, algo que sugere o uso de coordenadas cilíndricas ou esféricas.
Obviamente que devido à simetria de temos (justifique!) e portanto . Resta-nos portanto calcular os integrais
Dado ter simetria radial relativamente ao eixo dos uma mudança de variáveis natural seriam as coordenadas cilíndricas com , , . No entanto, uma melhor escolha são as coordenadas esféricas que já conhecemos pois nessas coordenadas é a união de uma superfície a constante, uma calote esférica, com uma superfície a constante, parte de uma superfície cónica. Usando esta última possibilidade consideramos com , , . Nestas coordenadas é simplesmente descrito por , , (justifique!). A matriz jacobiana de é obtendo-se para o módulo do determinante da matriz jacobiana de
Assim
pelo que .
Exemplo (volume de uma bola em ). Este exemplo esboça como calcular o volume de em . O ingrediente essencial é o estabelecer uma fórmula de recorrência relacionando em e em para . Para tal usaremos o teorema de Fubini e coordenadas polares. Convencionamos que em e que . Temos e reconhecemos que é o volume da bola de raio em . De um exemplo anterior e usando coordenadas polares obtemos então
A fórmula de recorrência obtida, e o cálculo de e , permitem obter por indução uma expressão geral explícita para . Note por exemplo que . [Obtenha a expressão geral de distinguindo os casos par e ímpar.]
Última edição desta versão: João Palhoto Matos, 07/05/2020 12:54:37.
