Comprimento de caminhos e linhas

É nosso objectivo definir área $k$-dimensional e integrais sobre uma variedade $k$-dimensional. Esta secção pode ser considerada como uma introdução através do caso particular $k=1$. Note-se no entanto que consideramos um contexto mais lato do que as variedades unidimensionais.

Definição (Caminho e linha). Seja $r:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$, com $I$ um intervalo, uma aplicação contínua. Diz-se que $r$ é um caminho. Um subconjunto de $\mathbb{R}^n$ que é um contradomínio de um caminho designa-se como linha. Diremos que um caminho descreve a linha respectiva.

Alguma nomenclatura adicional usada frequentemente sobre caminhos e linhas será útil. Um caminho diz-se simples se for uma aplicação injectiva. Uma linha diz-se simples se for o contradomínio de algum caminho simples. Dado um caminho $r:[a,b]\to\mathbb{R}^n$ com $a\leq b$ diz-se que $r(a)$ é o início de $r$ e $r(b)$ o seu fim. Se $r(a)=r(b)$ então $r$ diz-se fechado. Diz-se fechado simples se for fechado e a sua restrição a $[a,b[$ for injectiva. Uma linha diz-se fechada (resp. fechada simples) se for contradomínio de algum caminho fechado (resp. fechado simples).

Definição (Linha poligonal inscrita num caminho e numa linha; comprimento de linha poligonal). Dado um caminho $r:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$, com $I$ um intervalo, a união de todos os segmentos recta definidos por pares de pontos $(r(t_i), r(t_{i+1}))$ em que $\{t_0,t_1,\dots,t_k\}$ é um subconjunto finito de pontos do intervalo $I$ verificando $t_i\lt t_{i+1}$ para $I=0,\dots,k-1$, diz-se uma linha poligonal inscrita no caminho $r$ e na linha $r(I)$. Define-se $\sum_{i=0}^{k-1} \|r(t_{i+1})-r(t_i)\|$ como sendo o comprimento de uma tal linha poligonal. Fim da definição.

Definição (Caminhos e linhas rectificáveis; comprimento de caminhos e linhas). Um caminho diz-se rectificável se o supremo dos comprimentos das respectivas linhas poligonais inscritas for finito; esse supremo designa-se comprimento do caminho. Uma linha diz-se rectificável se o ínfimo dos comprimentos dos caminhos que a descrevem for finito; esse ínfimo designa-se comprimento da linha.

Note que, com esta definição, dois caminhos injectivos definindo a mesma linha são necessariamente ambos rectificáveis com o mesmo comprimento, ou ambos não rectificáveis.

Proposição (Caminhos $C^1$ definidos em intervalos compactos são rectificáveis). Seja $r:[a,b]\to\mathbb{R}^n$ um caminho de classe $C^1([a,b])$. Então $r$ é rectificável e o seu comprimento é \[\begin{equation}\int_a^b \|r'(t)\|\, dt. \label{eq:21:1}\end{equation}\]

Ideia da demonstração. Considere-se uma partição $P\in\mathcal{P}[a,b]$, $P=\{t_0=a, t_1,\dots,t_k=b\}$. Pelo teorema do valor médio para funções vectoriais \[\|r(t_{i+1})-r(t_i)\|\leq \sup_{t\in [t_i,t_{i+1}]} \|r'(t)\| (t_{i+1}-t_i).\] Da continuidade uniforme de $\|r'(t)\|$ em $[a,b]$ segue então que \[ \sup_{P\in \mathcal{P}[a,b]} \sum_i \|r(t_{i+1})-r(t_i)\| \leq \int_a^b \|r'(t)\|\, dt. \] Para concluir é necessário provar que a última desigualdade é de facto uma igualdade o que se deixa como exercício. Fim da ideia de demonstração.

Exemplo. Considere-se $r:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^2$ definida por $r(t)=(\cos t, \operatorname{sen}t)$. O comprimento deste caminho, que define a linha que designamos como circunferência de raio $1$ centrada em $(0,0)$ no plano, será $\int_0^{2\pi}\|r'(t)\|\, dt=\int_0^{2\pi}1\, dt=2\pi$.

Exemplo. Considere um caminho em $\mathbb{R}^{n+1}$ que corresponde ao gráfico de uma função $f\in C^1([a,b])$ com valores em $\mathbb{R}^n$, isto é $r(t)=(t,f(t))$, $t\in [a,b]$. Então o comprimento deste caminho é \[\int_a^b \sqrt{1+\|Df(t)\|^2}\, dt.\] Fim de exemplo.

Convém observar que a hipótese da proposição não pode ser melhorada substancialmente. O exemplo seguinte exibe um caminho em $C^0([0,1])\cap C^1(]0,1])$ que não é rectificável.

Exemplo. Seja $\alpha:[0,1]\to\mathbb{R}^2$ definida por \[\alpha(t)=\begin{cases}(0,0), & \text{ se } t=0,\\ \left(t,t^{3/2} \cos\left(\frac{\pi}{t^2}\right)\right), & \text{ se } t\gt 0.  \end{cases}\] Considere a linha poligonal obtida unindo os pontos $(0,0)$ a $\left(\frac{1}{\sqrt{n}}, \frac{1}{n^{3/4}}\cos\left(n\pi\right)\right)$, este último  a $\left(\frac{1}{\sqrt{n-1}}, \frac{1}{(n-1)^{3/4}}\cos\left((n-1)\pi\right)\right)$, este a $\left(\frac{1}{\sqrt{n-2}}, \frac{1}{(n-2)^{3/4}}\cos\left((n-2)\pi\right)\right)$, e assim sucessivamente até $(1,-1)$. Não é difícil verificar que cada um destes segmentos tem um comprimento maior que $\frac{1}{(n)^{3/4}}$, $\frac{1}{(n-1)^{3/4}}$,..., $\frac{1}{3^{3/4}}$, $\frac{1}{2^{3/4}}$, $1$ (os comprimentos das linhas a verde na figura). Daí que, se fizermos $n\to\infty$, verificamos que estas linhas poligonais têm comprimento que tende para $+\infty$, devido à série $\sum \frac{1}{n^{3/4}}$ ser divergente. Portanto este caminho não é rectificável.

Note que $\alpha$ é diferenciável em $]0,1]$ e possui derivada direita nula em $0$. No entanto não existe limite da derivada em $0$ pelo que $\alpha\not\in C^1([0,1])$. Fim de exemplo.

Podemos no entanto alargar facilmente a classe de caminhos para os quais podemos calcular o comprimento via o integral ($\ref{eq:21:1}$).

Definição (Caminhos seccionalmente $C^1$). Diz-se que um caminho $r:[a,b]\to\mathbb{R}^n$ é seccionalmente $C^1([a,b])$ se existir um número finito $k+1$ de pontos $t_0, t_1,\dots, t_k\in I$ com $a=t_0\lt t_1\lt\dots\lt t_k=b$ tal que $r$ é $C^1([t_j,t_j+1])$ para cada $j=0,\dots,k-1$.

Note que a definição de classe $C^1$ num conjunto não aberto implica que a definição anterior equivale a que em cada ponto $t_j$ o caminho possui derivadas direita e esquerda finitas e a ser $C^1(]t_j,t_{j+1}[)$ para cada $j=0,\dots,k-1$. Em particular cada linha poligonal é descrevível por um caminho seccionalmente $C^1$. É fácil verificar que

Proposição. Os caminhos seccionalmente $C^1$ definidos em intervalos compactos são rectificáveis com comprimento dado por ($\ref{eq:21:1}$).

Integral em ordem ao comprimento de arco

Considere-se um caminho injectivo $r:[a,b]\to\mathbb{R}^n$, seccionalmente $C^1$. Podemos introduzir a respectiva função comprimento de arco via \[s(t)=\int_a^t \|r'(t)\|\, dt.\] Para cada $t\in[a,b]$, o comprimento de arco dá-nos portanto o comprimento do caminho que se obtém por restrição ao intervalo $[a,t]$.

Podemos usar a função comprimento de arco e um exercício anterior para mostrar que, se considerarmos integrais \[\int_a^b f(r(t))\|r'(t)\|\, dt\] com $f$ contínua em $[a,b]$ e sendo $r$ um caminho simples, o integral é independente de $r$ entre todos os caminhos simples seccionalmente $C^1$ que descrevem $L$. Tal observação permite

Definição (Integral em ordem ao comprimento de arco). Seja $r:[a,b]\to\mathbb{R}^n$, seccionalmente $C^1$ e $f:L=r([a,b])\to\mathbb{R}$ uma caminho simples (ou fechado simples). Se o integral \[\int_a^b f(r(t))\|r'(t)\|\, dt\] existir o seu valor designar-se-á como o integral de $f$ sobre $L$ relativamente ao comprimento de arco, denotado $\int_L f\, ds$.

O integral em ordem ao comprimento de arco, quando a função integranda é identicamente $1$, dá-nos o comprimento da linha. Permite aplicações como calcular a massa de um fio de densidade variável.

Exercício. Exprima como um integral em ordem ao comprimento de arco a massa de um fio descrito parametricamente por $r(t)=(t\cos t, t\operatorname{sen}t, t)$, $t\in [0,2\pi]$ em que a densidade em cada ponto $(x,y,z)$ vale $z$.

O integral em ordem ao comprimento de arco será apresentado, mais tarde, como um caso particular de um integral sobre variedades (ou soma de integrais sobre variedades) de dimensão $1$.