Sumários e recursos de um curso idealizado

Ao contrário do que se vê nesta página em semestres reais, o que se apresenta(rá) abaixo são os sumários de um curso não leccionado mas idealizado, num formato que se espera realista baseado nas aulas do último semestre leccionado, o 2º semestre de 2020/21, acompanhados por ligações relevantes ao texto, exercícios e vídeos realizados nessa altura.

A página encontra-se em elaboração.

Apresentação da disciplina. $\mathbb{R}^n$.

Apresentação da disciplina: programa, pré-requisitos, avaliação, recursos disponíveis,...

\(\mathbb R^n\): como espaço vetorial, espaço com produto interno, espaço normado. O produto externo em $\mathbb{R}^3$.

Alguns subconjuntos de \(\mathbb R^n\).

\(\mathbb R^n\): descrição analítica de alguns tipos de subconjuntos incluindo rectas, subespaços, bolas, esferas, cilindros, cones, parabolóides, hiperbolóides.

Aula de problemas: $\mathbb{R}^n$

Ficha 1: discute-se no vídeo os exercícios 1, 2, 3, 5, 6, 8, 12.

Integrais de funções limitadas em limitados de \(\mathbb R^n\)

A definição de integral de uma função limitada num limitado de \(\mathbb R^n\).

Propriedades elementares do integral análogas às conhecidas em dimensão \(1\).

Integração: teorema de Fubini.

Teorema de Fubini: a redução do cálculo de um integral $n$-dimensional ao cálculo sucessivo de $n$ integrais unidimensionais. Exemplos.

Cálculo de integrais em limitados de $\mathbb{R}^n$.

Exemplos de cálculo de integrais em limitados de $\mathbb{R}^n$ usando o teorema de Fubini.

Interpretando $\int_A 1$ como o volume $n$-dimensional de $A$. O caso particular, anteriormente estudado, em que $A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x\in [a,b], f(x)\leq y\leq g(x)\}$.

Integração

Integração: exemplo de cálculo, caracterização de integrabilidade, observações sobre a demonstração do teorema de Fubini.

Aula de problemas: Integração

Ficha 2: discute-se no vídeo os exercícios 4, 6, 7, 12.

Aula de problemas: Integração

Ficha 2: discute-se no vídeo os exercícios 15, 17, 19.

Sucessões e noções topológicas em \(\mathbb{R}^n\)

Sucessões em \(\mathbb{R}^n\): convergência, convergência coordenada a coordenada, exemplos, teorema de Bolzano-Weierstrass.

Noções topológicas. em \(\mathbb{R}^n\): pontos interiores, exteriores, fronteiros e aderentes; interior, exterior, fronteira, fecho; exemplos.

Noções topológicas em \(\mathbb R^n\)

Conjuntos abertos e conjuntos fechados; \(\emptyset\) e \(\mathbb R^n\) são os dois únicos conjuntos simultaneamente abertos e fechados, uma bola aberta é um conjunto aberto, o complementar de um aberto é fechado e vice-versa, uniões de abertos são abertas, intersecções finitas de abertos são abertos, ponto isolado e ponto de acumulação, caracterização dos fechados usando sucessões, caracterização dos limitados e fechados usando sucessões.

Continuidade pontual

Continuidade: definição, critério de Heine, continuidade da função composta, continuidade das aplicações lineares, dos polinómios,...

Continuidade

Continuidade pontual: exemplos.

Continuidade global: o teorema de Weierstrass.

Continuidade global: teoremas de Weierstrass e de Heine-Cantor.

Teoremas de Weierstrass: aplicação a um problema de maximização.

Continuidade uniforme, teorema de Heine-cantor.

Teorema do valor intermédio. Conexos. Limites finitos em pontos aderentes.   

Teorema do valor intermédio. Conjuntos conexos: convexos, conjuntos em estrela, abertos conexos são conexos por arcos.

Limites finitos em pontos em pontos aderentes ao domínio.

Limites  

Limites de funções (finitos e \(\infty\), em pontos aderentes e no \(\infty\)).

Aula de problemas: topologia e continuidade

Ficha 3: discute-se no vídeo os exercícios 1, 5,...

Aula de problemas: continuidade e limites.

Ficha 3: discute-se no vídeo os exercícios 8, 11, 12 e 17.

Cálculo diferencial.  

Diferenciabilidade: introdução, definição, exemplos de funções diferenciáveis (constantes, lineares, \((x,y)\mapsto xy\)).

Cálculo diferencial.  

Cálculo diferencial de funções de $\mathbb{R}^n$ em $\mathbb{R}^m$: derivadas parciais, derivadas dirigidas, matriz jacobiana.

Cálculo diferencial.   

Estrutura da matriz jacobiana, gradiente e o seu significado, exemplos.

Teorema de derivação da função composta.  

Teorema de derivação da função composta: demonstração, exemplos de utilização para justificar diferenciabilidade e para cálculo de derivadas parciais de funções compostas (regra da cadeia).

Aula de problemas: cálculo diferencial 

Ficha 4: discute-se no vídeo os exercícios ...