Soluções

Ficha 12 — Teorema de Stokes e potenciais vectoriais

1. Calcule \[\iint_T \operatorname{rot} H \cdot \nu\, dS,\] isto é, o fluxo do rotacional do campo $H$ através de uma superfície $T$ e de acordo com uma normal unitária contínua $ν$ a $T$ , em que $H$ está definido em $\mathbb{R}^3$ por \[H(x, y, z) = (x, y, z \cos(xy)),\] $T$ é descrita por \[T = \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : z =\sqrt{x^2+y^2}, z\in {]1,2[}\right\}\] e $(0,0,1) \cdot ν(x, y, z) \lt 0$ em $T$.
2. Seja $F:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ definida por $F(x,y,z)=(-y,x,z^2-1)$ e considere a superfície \[S=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: z=4-x^2-y^2, 0\lt z\lt 1\right\}.\] Calcule \[\iint_S \rot F\cdot \nu \, dS\] em que $\nu$ designa a normal unitária contínua a $S$ tal que $\nu\cdot(1,0,0)\gt 0$ nos pontos de $S$ com $x\gt 0$.
3. Calcule \[\iint_T \operatorname{rot} H \cdot \nu\, dS,\] isto é, o fluxo do rotacional do campo $H$ através de uma superfície $T$ e de acordo com uma normal unitária contínua $\nu$ a $T$, em que $H$ está definido em $\mathbb{R}^3$ por \[H(x, y, z) = (xe^{yz} , ye^{xz}, ze^{xy}),\] $T$ é descrita por \[T =\left\{ (x, y, z)\in\mathbb{R}^3 :\left ( \sqrt{x^2 + y^2} − 2\right)^2 + z^2 = 1, x \gt 0, y \gt 0\right\}\] e $\nu(x, y, z)\cdot (0, 0, 1) \gt 0$ num ponto $(x, y, z) \in T$ se e só se $z\gt 0$.
   Solução

   A superfície $T$ é um quarto de toro que se obtém rodando a circunferência $(x-2)^2+z^2=1$ um quarto de círculo em torno do eixo dos $zz$ .

   O teorema de Stokes permite-nos escrever \[\iint_T \rot H\cdot\nu \, dS = \oint_{L_1} H\cdot d\alpha + \oint_{L_2} H\cdot d\beta\] em que $L_1$ e $L_2$ são descritas parametricamente (note os sentidos!) por $\alpha(t)=(2+\sen t, 0, \cos t)$ e $\beta(t)=(0, 2-\sen t, \cos t)$, em ambos os casos com $t\in [0,2\pi]$. Obtém-se assim \begin{align*}& \iint_T \rot H\cdot\nu \, dS \\ & \begin{split} & = \int_0^{2\pi} (2+\sen t, 0, \cos t)\cdot (\cos t, 0, -\sen t)\, dt \\ & \qquad + \int_0^{2\pi} (0,2-\sen t, \cos t)\cdot (0, -\cos t, -\sen t)\, dt = 0.\end{split}.\end{align*}

4. Seja $\theta : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ uma função de classe $C^1(\mathbb{R}^2)$. Calcule o fluxo do rotacional de um campo da forma \[\mathbb{R}^3\ni (x, y, z) \mapsto H(x, y, z) = (x^2 y(z − 1), xy^2 (z − 1), θ(x, y)(z^2 − z))\] através da superfície definida por $x^2 + y^2 = 1, z \in {]0, 1[}$, com uma normal unitária contínua sobre aquela superfície tendo primeira coordenada positiva em $(1, 0, 1/2)$.
5. Decida se existe ou não um campo $G:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ tal que $\operatorname{rot}G(x,y,z)=(y-z, z-x, x-y)$ e, se optar pela afirmativa, determine um possível $G$.
6. Seja $H:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ definida por $H(x,y,z)=(xy,x^2, -yz)$.
   1. Determine um campo $F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ tal que $\rot F=H$.
      Solução

      Como $\div H=0$ em $\mathbb{R}^3$ e $H\in C^1(\mathbb{R}^3)$ sabemos que tal é possível. Procuramos um campo da forma $F=(0,Q(x,y,z),R(x,y,z))$. Devemos ter \begin{align*}\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} &= xy \\ -\frac{\partial R}{\partial x} &= x^2 \\ \frac{\partial Q}{\partial x}&=-yz\end{align*} Daí que \begin{align*}R(x,y,z)&=-\int x^2\, dx + h_1(y,z) = -\frac{x^3}{3} + h_1(y,z) \\ Q(x,y,z) &= -\int yz \, dx + h_2(y,z) = -xyz + h_2(y,z)\end{align*} para algumas funções $h_1$ e $h_2$. Tomando $h_2=0$ resta-nos satisfazer $\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} = xy$ que, com as escolhas feitas se reduz a $\frac{\partial h_1}{\partial y} =0$, ou seja, obtemos um possível $H$ com $h_1(y,z)=0$.

      Em resumo temos $\rot F = H$ com $F(x,y,z)=\left(0, -xyz, -\frac{x^3}{3}\right)$.

   2. Seja $L$ uma linha fechada de classe $C^1$ no plano $x-y=0$. Calcule o integral de linha $\oint_L F\cdot dr$.
      Solução

      Pelo teorema de Stokes o integral pedido será igual ao fluxo de $H$ através da porção do plano $x-y=0$ limitada pela linha fechada num sentido adequado. Acontece que a normal a este plano terá a direcção de $\nabla(x-y)=(1,-1,0)$ que é um vector ortogonal ao campo. Portanto o valor do integral pretendido é $0$.

7. Admita como conhecido o seguinte resultado:

   Dados um intervalo aberto $I\subset \mathbb{R}^3$ e uma função escalar $\phi\in C^1(I)$, existe uma função $f:I\to\mathbb{R}$ tal que $\operatorname{div}\nabla f=\phi$.

   Usando o resultado anterior, mostre que dada uma função $F:I\subset\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ com $I$ um intervalo aberto e $F\in C^2(I)$, então $F$ é a soma de um gradiente com um rotacional.

8. Calcule \[\iint_{D}\rot F\cdot\nu \, dS \] em que \[D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:z > 1/2, x^2+y^2+z^2=1\},\] $\nu$ é a normal unitária contínua sobre $D$ verificando $\nu(0,0,1)\cdot (0,0,1)<0$ e \[F(x,y,z)=(-y,x,e^{xyz} ).\]
   Solução

   A superfície $D$ é o gráfico da função $h:\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2\leq 3/4\}\to \mathbb{R}$ definida por $h(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$, sendo o seu bordo a circunferência descrita por $z=1/2$ e $x^2+y^2=3/4$ que designamos por $C$.

   Ao aplicarmos o teorema de Stokes nestas circunstâncias obtemos \[\iint_{D}\rot F\cdot\nu \, dS =\oint_C F\cdot dr\] em que $r$ deve ser uma parametrização de $C$ que percorre $C$ no sentido retrógrado do ponto de vista de alguém com $z\gt 1$, por exemplo, $r(t)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sen t, \frac{\sqrt{3}}{2}\cos t, \frac{1}{2}\right)$, $t\in [0,2\pi]$ (note que a normal a $D$ aponta no sentido de $z$ negativo). Temos $r'(t)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos t, -\frac{\sqrt{3}}{2}\sen t, 0\right)$.

   Calculando o integral de linha obtém-se então\[\oint_C F\cdot dr = \int_0^{2\pi} -\frac{3}{4}\cos^2 t - \frac{3}{4}\sen^2 t \, dt = - 3\pi /2.\]

9. Calcule \[\iint_{S}\rot F\cdot\nu \, dS \] em que \[S=\{(x,y,z)\in\mathbb {R}^3:x > 0, y>0, z>0, x^2+y^2+z^2=1\},\] $\nu$ é a respectiva normal unitária contínua verificando $\nu(x,y,z)\cdot (0,0,1)>0$ para todo o $(x,y,z)\in S$ e $F(x,y,z)=(x\cos(yz),y\cos(xz),z(1-xy) )$.

   Solução

   Vamos aplicar o teorema de Stokes para calcular o integral.

   A superfície $S$ é um oitavo de esfera centrada na origem e de raio $1$ cujo bordo é formado por três arcos de circunferência cada um dos quais contido num plano coordenado e percorrido como sugerido pela figura.

   O teorema de Stokes permite escrever \[\iint_{S}\rot F\cdot\nu \, dS=\int_{L_1} F\cdot d\alpha + \int_{L_2} F\cdot d\beta + \int_{L_3} F\cdot d\gamma\] em que $\alpha(t)=(\cos t, \sen t, 0)$, $t\in [0,\pi/2]$, $L_1=\alpha([0,\pi/2])$, $\beta(t)=(0, \cos t, \sen t)$, $t\in [0,\pi/2]$, $L_2=\beta([0,\pi/2])$, $\gamma(t)=(\sen t, 0 , \cos t)$, $t\in [0,\pi/2]$, $L_3=\gamma([0,\pi/2])$.

   Acontece que todos os integrais de linha são $0$ pois sobre $L_1$ temos $F(x,y,z)=(x,y,0)$ e $\alpha'(t)=(-\sen t, \cos t, 0)$ donde $F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t)= 0$ e analogamente nos restantes dois casos (em termos geométricos elementares isto corresponde à restrição de $F$ aos três arcos de circunferência ser uma função radial e portanto ortogonal à tangente ao arco de circunferência).

   Conclui-se assim que \[\iint_{S}\rot F\cdot\nu \, dS=0.\]

10. Seja  $F:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ definida por $F(x,y,z)=(y,-x,xyz)$ e considere a superfície \[S=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: z=\sen\left(\pi\sqrt{x^2+y^2}\right), 1<\sqrt{x^2+y^2}<2, x>0, y>0\right\}.\]

    Calcule \[\iint_S \rot F\cdot \nu \, dS\] em que $\nu$ designa a normal unitária contínua a $S$ tal que $\nu\cdot(0,0,1)>0$ nos pontos de $S$.

    Solução

    O bordo de $S$ é formado pela união de 4 linhas $L_1,L_2,L_3,L_4$ com as parametrizações seguintes, que já são concordantes com o sentido da normal unitária contínua $\nu$ sobre $S$: \begin{align*}L_1 &: \alpha_1(t)=(t, 0, \sen(\pi t)), t\in [1,2],\\ L_2 &: \alpha_2(t)=(2\cos t, 2\sen t, 0), t\in[0,\pi/2],\\ L_3 &:\alpha_3(t)=(0, 2-t, \sen(\pi (2-t))), t\in [0,1], \\ L_4 &: \alpha_4(t)=(\sen t, \cos t, 0), t\in[0,\pi/2].\end{align*}

    Pelo teorema de Stokes obtemos que \[\iint_S \rot F\cdot \nu \, dS = \sum_{i=1}^4 \int_{L_i}F\cdot d\alpha_i.\] Como \begin{align*}F(\alpha_1(t))\cdot \alpha'_1(t)&=(0,-t,0)\cdot (1,0, \pi\cos(\pi t))=0\\ F(\alpha_3(t))\cdot \alpha'_3(t)&=(2-t,0,0)\cdot (0,-1, -\pi\cos(\pi (2-t))=0\end{align*} os integrais de linha correspondentes a $L_1$ e $L_3$ são nulos. Quanto aos restantes \begin{align*}\int_{L_2}F\cdot d\alpha_2 & = \int_0^{\pi/2} (2\sen t, -2\cos t, 0)\cdot\ (-2\sen t, 2\cos t, 0) \, dt =-2\pi \\ \int_{L_4}F\cdot d\alpha_4 & = \int_0^{\pi/2} (\cos t, -\sen t, 0)\cdot (\cos t, -\sen t) \, dt=\frac{\pi}{2}\end{align*} pelo que \[\iint_S \rot F\cdot \nu \, dS = -\frac{3\pi}{2}.\]

11. Seja $T=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: (\sqrt{y^2+z^2}- 2)^2+x^2 = 1, \sqrt{y^2+z^2} \gt 2, y\gt 0\right\}$. Calcule $\iint_T \rot F\cdot \nu \, dS$ em que $F:\mathbb{R}^3\setminus \{(x,0,0)\in \mathbb{R}^3:x\in \mathbb{R}\}\to \mathbb{R}^3$ está definida por $F(x,y,z)=\left(xyz, -\frac{z}{y^2+z^2}(x+1), \frac{y}{y^2+z^2}(x+1)\right)$ e $\nu$ é a normal unitária contínua sobre $T$ que verifica $\nu\cdot (0,1,0)\gt 0$.

    Solução

    $T$ é um subconjunto do toro definido por $(\sqrt{y^2+z^2}- 2)^2+x^2 = 1$ que corresponde a rodar uma circunferência definida por $\begin{cases}y=0 \\ (z- 2)^2+x^2 = 1\end{cases}$ em torno do eixo dos $x$s. A porção que escolhemos do toro corresponde aos pontos que estão a uma distância maior que $2$ do eixo dos $x$s e que têm ordenada $y\gt 0$.

    Temos $F\in C^1(\mathbb{R}^3\setminus \{(x,0,0)\in \mathbb{R}^3:x\in \mathbb{R}\})$ e notamos que a distância de $T$ a $\{(x,0,0)\in \mathbb{R}^3:x\in \mathbb{R}\}$ é positiva o que garante que $F$ é suficientemente regular para considerarmos o cálculo via teorema de Stokes. Como também $T$ é uma variedade-2 com bordo e orientável, é legítimo considerar a aplicação do teorema de Stokes para cálculo do integral pretendido.

    O bordo de $T$ pode ser expresso como a concatenação de 4 linhas $L_1$, $L_2$, $L_3$ e $L_4$ sugeridas na figura seguinte pelas cores indicadas.

    Temos então, pelo teorema de Stokes, \[\iint_T \rot F\cdot \nu \, dS = \int_{L_1} F\cdot dr + \int_{L_2} F\cdot dr + \int_{L_3} F\cdot dr + \int_{L_4} F\cdot dr.\]

    Acontece que a restrição de $F$ a $L_2$ e a $L_4$, linhas que estão contidas no plano $y=0$, tem a primeira e a terceira componentes nulas, o que torna aí $F$ ortogonal às tangentes àquelas linhas (verifique esta afirmação!).

    A restrição de $F$ a $L_3$ tem segunda e terceira coordenadas nulas pois $x=-1$ aí. Por outro lado a tangente a $L_3$ tem primeira coordenada nula pela mesma razão.

    Assim podemos afirmar que \[\iint_T \rot F\cdot \nu \, dS = \int_{L_1} F\cdot dr .\]

    Parametrizando $L_1$ por $r(t)=(1, 2 \sen t, 2 \cos t)$, $t\in [0,\pi]$, obtemos \[\int_{L_1} F\cdot dr = \int_0^\pi - 2\cos^2 t - 2\sen^2 t \, dt = -2\pi\]

12. Sejam $\psi:\mathbb R^3\to \mathbb R$ uma função de classe $C^1(\mathbb R^3)$, $F:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ definida por \[F(x,y,z)=(y(1-z),-x(1-z),y\psi(x,y,z))\] e considere a superfície \[S=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: 0\lt z=1-x^2-y^2, y\gt 0 \right\}.\]

    Calcule \[\iint_S \rot F\cdot \nu \, dS\] em que $\nu$ designa a normal unitária contínua sobre $S$ tal que $\nu\cdot(0,0,1)\gt 0$.