Sugestões... Soluções

Ficha 8 — Caminhos e linhas.

Comprimento. Integral em ordem ao comprimento de arco.

1. Justifique que uma linha $L$ definida por um caminho $r(t) = (t, \cos t, 2 \operatorname{sen} t)$, com $t \in [0,2\pi]$, é rectificável com um comprimento inferior a $2\sqrt{5}\pi$.
2. Considere um fio modelado por uma linha $L$ definida por um caminho $r(t) = (t, \cos t, \operatorname{sen} t)$, com $t \in [0, 2\pi]$, com massa específica $D(x, y, z) = 2 + xy$ em unidades convenientes. Calcule a massa do fio.

Integral de linha. Campos conservativos.

3. Um caminho $r ∈ C^1$ definindo uma linha $L$ tem início na origem em $\mathbb{R}^3$ e termina num ponto da esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 1$. Calcule o integral de linha $\int_L x\,dx + y\, dy + z \,dz$.
4. Considere o campo $G : \mathbb{R}^3 \setminus \{(0, 0, 0)\} \to \mathbb{R}^3$ definido por \[G(x, y, z) =\frac{1}{\sqrt{x^2+2y^2+4 z^2}}(x,2y,4z).\] Calcule o integral de linha $\int_L G\cdot d\alpha$ em que $\alpha$ é um caminho $C^1$ definindo uma linha $L$ unindo $(1, 0, 0)$ a $(0, 0, 1)$ em $\mathbb{R}^3 \setminus\{(0, 0, 0)\}$.
5. Considere o campo $F : \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\} \to \mathbb{R}^2$ definido por \[F (x, y) = \left(\frac{x-y}{x^2+y^2}, \frac{x+y}{x^2+y^2}\right)\] e a linha $L$ definida por um caminho $r$ seccionalmente $C^1$ correspondente a percorrer a fronteira de um triângulo de vértices $(0, 1/2)$, $(1, 1)$ e $(−1, 1)$ uma vez no sentido directo. Calcule o integral de linha $\oint_L F\cdot dr$.
   Solução

   Apresentam-se duas soluções em alternativa. Nenhuma delas envolve tentar parametrizar os três segmentos de recta e daí calcular o integral de linha directamente. Que tal é uma péssima ideia é algo que se deixa ao cuidado do leitor.

   Primeira solução

   Vamos investigar se o campo $F$ será conservativo. Para isso começamos por tentar verificar se o campo é fechado. Com efeito \begin{align*}\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x-y}{x^2+y^2}\right) &=\frac{-(x^2+y^2)-2y(x-y)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2-x^2-2xy}{(x^2+y^2)^2}\\ \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{x+y}{x^2+y^2} \right)&=\frac{x^2+y^2-2x(x+y)}{(x^2+y^2)^2}= \frac{y^2-x^2-2xy}{(x^2+y^2)^2}\end{align*} pelo que o campo $F$ é fechado em $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$. Sabemos que existem campos fechados em $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ que não são conservativos pelo que a conclusão anterior não é usável directamente. No entanto, como $L\subset\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: y\gt 0 \right\}$ e este último conjunto é em estrela, podemos concluir que $F$ é conservativo em $\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: y\gt 0 \right\}$ e portanto \[\oint_L F\cdot dr = 0.\]

   Segunda solução

   Usando dois exemplos estudados explicitamente, temos $F=G+H$ onde \begin{gather*}G(x,y)=\left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right)=\nabla\left(\frac{1}{2}\log(x^2+y^2)\right)\\ H(x,y)=\left(\frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2}\right)=\nabla(-\operatorname{arctg}(x/y)) \text{ se } y\gt 0.\end{gather*} Daí que $F=\nabla\left(\frac{1}{2}\log(x^2+y^2)-\operatorname{arctg}(x/y) \right)$ para $y\gt 0$ pelo que $F$ é um campo conservativo quando restringido a $\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: y\gt 0 \right\}\supset L$ e portanto \[\oint_L F\cdot dr = 0.\]

6. Decida se o campo $(x, y) \mapsto\left( \frac{y}{1+x^2 y^2} ,  \frac{x}{1+x^2 y^2}\right)$  é ou não conservativo em $\mathbb{R}^2$. Se optar pela afirmativa determine um potencial.
7. Calcule o integral de linha $\int_L G\cdot dr$ em que $L$ é descrita por um caminho $C^1$ unindo $(0,0,0)$ ao um ponto $(1,1,1)$ e $G(x,y,z)=(z,2y+z,y+x)$.
8. Calcule o integral de linha $\int_L ye^{xy}\, dx +x e^{xy}\, dy$ em que $L$ é descrita por um caminho $C^1$ unindo a origem a um ponto $(a,b)$ verificando $ab=1$.
   Solução

   Tomemos $F(x,y)= (ye^{xy}, xe^{xy})$. $F$ é uma função definida em $\mathbb{R}^2$, de classe $C^\infty(\mathbb{R}^2)$.

   Alternativa 1
   Seja $\phi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definida por $\phi(x,y)=e^{xy}$. Temos $\phi\in C^\infty(\mathbb{R}^2)$ e $F=\nabla \phi$. Assim, o campo vectorial $F$ é conservativo. Portanto \[\int_L ye^{xy}\, dx +x e^{xy}\, dy=\phi(a,b)-\phi(0,0)=e^{ab}-e^0=e-1.\]

   Alternativa 2
   Como $\frac{\partial}{\partial y}(ye^{xy})=e^{xy}+xye^{xy}=\frac{\partial}{\partial x}(xe^{xy})$ podemos afirmar que $F$ é um campo fechado em $\mathbb{R}^2$ que é um conjunto em estrela. Logo $F$ é conservativo e o respectivo integral de linha é independente do caminho. Podemos considerar como caminho unindo $(0,0)$ a $(a,b)$ um segmento de recta parametrizado por $\alpha(t)=(ta,tb)$, $t\in [0,1]$. Então $\alpha'(t)=(a,b)$ e \[\int_L ye^{xy}\, dx +x e^{xy}\, dy=\int_0^1 2abt e^{abt^2}  \, dt =  e^{ab}-1 = e - 1.\]

9. Sejam $F:\mathbb{R}^2\setminus\{(1,0)\}\to\mathbb{R}^2$ definida por \[F(x,y)=\left(\frac{-y}{(x-1)^2+y^2}, \frac{x-1}{(x-1)^2+y^2}\right),\] $G:\mathbb{R}^2\setminus\{(-1,0)\}\to\mathbb{R}^2$ definida por \[G(x,y)=\left(\frac{y}{(x+1)^2+y^2}, \frac{-(x+1)}{(x+1)^2+y^2}\right),\] e $H:\mathbb{R}^2\setminus\{(1,0), (-1,0)\}\to\mathbb{R}^2$ definida por $H(x,y)=F(x,y)+G(x,y)$.

   Mostre que $H$ não é conservativo no seu domínio mas é conservativo em $\mathbb{R}^2\setminus\{(x,0)\in\mathbb{R}^2: |x|\leq 1\}$.

   Sugestões

   1. Note que sendo $\psi:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\to\mathbb{R}^2$ definido por $\psi(x,y)=\left(-\frac{y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2}\right)$ temos $F(x,y)=\psi(x-1,y)$ e $G(x,y)=-\psi(x+1,y)$. O campo $\psi$ apareceu frequentemente em exemplos importantes no curso.
   2. Tire partido do ponto anterior para obter os valores dos integrais de linha de $F$ e $G$ em torno de circunferências de raio $1/2$ centradas em $(1,0)$ e $(-1,0)$.
   3. Aplique o teorema de Green a $H$ em $\overline{B}_2(0,0)\setminus\left(B_{1/2}(1,0)\cup B_{1/2}(-1,0)\right)$.
   4. Seja $L$ for uma linha fechada seccionalmente $C^1$ em $\mathbb{R}^2$ limitando um aberto $A$ contendo $\{(x,0)\in\mathbb{R}^2: |x|\leq 1\}$ contida numa bola $B_R(0,0)$. Aplique o teorema de Green em $\overline{B}_R(0,0)\setminus A$.
10. 1. Calcule \[\int_L \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}\, dx - \frac{x^2- y^2}{(x^2+y^2)^2}\, dy\] em que $L$ é o segmento de recta no plano unindo $(1,1)$ a $(2,2)$.
       Solução

       O segmento de recta é parametrizável por $r(t)=(t,t)$ com $t\in [1,2]$ o que permite o cálculo \[\int_L \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}\, dx - \frac{x^2- y^2}{(x^2+y^2)^2}\, dy = \int_1^2 \frac{1}{2t^2}\, dt= \frac{1}{4}.\]

    2. Justifique que o integral da alínea anterior tem o mesmo valor qualquer que seja a linha $L$ de classe $C^1$ unindo aqueles dois pontos no mesmo sentido e contida no semiplano $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: y> 0\}$.
       Solução

       Temos \[\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{-y}{x^2+y^2}\right) \] e \[\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{-y}{x^2+y^2}\right)=\frac{-(x^2+y^2)+2y^2}{(x^2+y^2)^2}= \frac{y^2- x^2}{(x^2+y^2)^2}\] pelo que a função $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\ni (x.y)\mapsto \frac{-y}{x^2+y^2}$ é um potencial do campo considerado no integral de linha e portanto o campo é conservativo.

       [Observação: alternativamente pode verificar-se que o campo é fechado e o conjunto indicado é em estrela (ou simplesmente conexo).
       Observação 2: A determinação do potencial podia ser usada também para a alínea (a).]

11. 1. Calcule \[\int_L \left(x-\frac{y}{x^2+y^2}\right) dx + \left(y + \frac{x}{x^2+y^2}\right) dy\] em que $L$ é semicircunferência de centro em $(0,0)$, contida no semiplano definido por $y\geq 0$, e unindo $(1,0)$ a $(-1,0)$.
    2. Decida se o integral da alínea anterior tem o mesmo valor qualquer que seja a linha $L$ de classe $C^1$ unindo aqueles dois pontos no mesmo sentido e contida em $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$.