Sugestões... Soluções

Ficha 1 —

1. Determina a equação de uma esfera centrada em e de raio .
2. Determine o centro e o raio da esfera definida por .
3. Determine a equação da superfície em formada por todos os segmentos de recta unindo o ponto aos pontos da circunferência centrada em e de raio contida no plano .
   Solução

   Apresentam-se duas soluções. Mais tarde designá-las-emos por representação paramétrica e representação implícita respectivamente. São análogos respectivamente a descrever um plano em via combinações lineares de 2 vectores ou como formado pelos vectores ortogonais à sua normal.

   Representação paramétrica

   Começamos por descrever os pontos sobre a circunferência de raio centrada em e contida no plano via com . Tal equivale a considerar a considerar a circunferência como o contradomínio da função .

   Para agora obtermos o conjunto pretendido basta descrever cada um dos segmentos de recta unindo um ponto da circunferência ao ponto . Tal pode ser feito considerando uma aplicação .

   Obtemos assim uma descrição da superfície através do contradomínio da aplicação .

   Representação implícita

   A superfície trata-se de parte com de uma superfície cónica com vértice em e eixo de simetria na direcção do vector . Tal superfície pode ser obtida transladando a porção de superfície cónica definida por e de para obtendo-se

4. Mostre que dada uma qualquer bola em existe uma bola centrada em que a contém.
5. Determine a equação da elipse após uma rotação de no sentido directo em torno de .
   Solução

   A elipse é caracterizada por uma equação da forma em que .

   Designemos por a transformação linear que corresponde a uma rotação de em torno de . Sabemos que esta transformação linear é representada pela matriz isto é,

   A equação é equivalente a pelo que os pontos que se obtêm por rotação de são soluções de . Ora pelo que a equação da elipse (designando as coordenadas por e ) após uma rotação de é

6. Determine a distância do plano a .
   Solução

   Sabemos que a distância de um ponto a um subespaço é a norma de em que designa a projecção no subespaço. Isto leva-nos a suspeitar (transladando o subespaço afim para o subespaço ) que é o comprimento de um segmento de recta unindo a origem ao hiperplano afim e ortogonal a este. Os vectores ortogonais aos hiperplanos mencionados têm a forma para algum . O vector desta forma com afixo sobre o hiperplano afim é . Este ponto está a uma distância da origem.

   Pode verificar explicitamente a afirmação anterior. Seja um ponto sobre o hiperplano . Então O mínimo do lado direito da igualdade anterior ocorre quando todas as respectivas parcelas quadráticas forem nulas.

7. Determine a distância do hiperplano a em .
8. Determine a equação da superfície que se obtém rodando a linha definida por em torno do eixo dos s.
9. Decida se existem ou não subconjuntos disjuntos e não vazios de a distância e cujas restrições a uma qualquer bola estejam a uma distância positiva entre si.
10. Determine a equação de um parabolóide que se obtém por rotação em torno de do parabolóide de maneira ao seu eixo de simetria ter a direcção do vector e estar contido no semi-espaço .
    Sugestão

    Veja a equação do parabolóide no texto considerando e .

11. Seja . Estabeleça que
12. Determine a matriz representando uma aplicação linear que transforma em para um certo .
13. Dados vectores considere . Determine a matriz que representa a aplicação linear que transforma em .

Veja as páginas 1 e 2 do texto.