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Ficha 10 — Áreas de superfícies, integrais de superfície, fluxo de campos vectoriais

Os exercícios sobre fluxos de campo vectoriais podem por vezes ser resolvidos usando o teorema da divergência. Volte a considerá-los nessa altura, isto é, juntamente com a ficha 11.

1. Calcule a área da superfície $z = xy$ contida no cilindro $x^2 + y^2 = 1$.
2. Calcule a área da superfície em $\mathbb{R}^3$ definida por $y=x^2+z^2\leq 1$.
   Solução

   Usando uma representação explícita

   Trata-se de uma superfície descrita explicitamente por uma equação da forma $y=g(x,z)$ com $(x,z)\in \overline{B}_1(0,0)$. A área da superfície pode ser calculada por \begin{align*}\iint_{\overline{B}_1(0,0)}\sqrt{1+ \|\nabla g(x,z)\|^2}\, dx\,dz & = \iint_{\overline{B}_1(0,0)}\sqrt{1+ \|(2x,2z)\|^2}\, dx\,dz\\ & =\iint_{\overline{B}_1(0,0)}\sqrt{1+ 4x^2+4z^2}\, dx\,dz \\ & = \int_0^{2\pi}\left(\int_0^1 \sqrt{1+ 4r^2} r\, dr \right)d\theta \\ & = 2\pi \left.\left[\frac{1}{12}(1+4r^2)^{3/2}\right]\right|^{r=1}_{r=0} \\ & = \frac{\pi}{6}(5^{3/2}-1)\end{align*} em que se usou uma mudança de variáveis para coordenadas polares definidas por \[\begin{cases}x=r\cos\theta, \\ z=r\sen\theta\end{cases}\] com $r\geq 0$, $\theta\in [0,2\pi]$.

   Usando uma representação paramétrica

   Parametrize-se a superfície por $\alpha(r,t)=(r\cos t, r^2, r\sen t)$, $t\in [0,2\pi]$, $r\in [0,1]$. Temos \begin{align*}\left\|\frac{\partial \alpha}{\partial r}\times \frac{\partial \alpha}{\partial t}\right\| & = \left\|(-r\sen t, 0, r\cos t)\times (\cos t, 2r, \sen t)\right\| \\ & =\left\| (-2r^2 \cos t, r,-2r^2 \sen t )\right\| \\ & =\sqrt{r^2+ 4r^4} \end{align*} pelo que a área será dada por \[\int_0^{2\pi}\left(\int_0^1 \sqrt{1+ 4r^2} r\, dr \right)dt\] completando-se o cálculo como acima.

3. Seja $D\subset\mathbb{R}^2$ um domínio regular e considere as superfícies $S_1$ e $S_2$ definidas por \begin{align*}S_1 & = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: (x,y)\in D, z=2xy\}\\ S_2 &= \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: (x,y)\in D, z=x^2+y^2\}\end{align*} Mostre que as áreas de $S_1$ e $S_2$ são iguais.
4. Calcule o integral de superfície \[\iint_S x\sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}\, dS\] em que $S = \left\{(x, y, z) \in\mathbb{R}^3 : z = x^2 − y^2 , x^2 + y^2 \leq 1, x \geq 0, y\geq 0\right\}$.
5. Considere a superfície $S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: z=xy^2, x^2+y^2\leq 1, y\geq 0\}$. Calcule o integral de superfície \[\iint_S \frac{y}{\sqrt{1+4x^2y^2+y^4}}\, dS.\]
6. Determine as coordenadas do centro de massa da superfície homogénea constituída pela porção da superfície da esfera $x^2+y^2+z^2=1$ que se encontra “por cima” do primeiro quadrante do plano $xy$.
   Solução

   A superfície $S$ a considerar é dada por \[S=\left\{(x, y, z)\in\mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1, x\gt0, y\gt0, z\gt 0\right\}.\] Tomemos para parametrização de $S$ a função \[g(\theta, \phi)=(\cos \theta \sen \phi, \sen \theta \sen \phi, \cos \phi),\] definida em $D= {\left]0,\frac{\pi}{2}\right[}\times {\left]0,\frac{\pi}{2}\right[}.$ Começando então por calcular a massa, vem \[M=\iint_S \, dS=\iint_D \left\|\frac{\partial g}{\partial \theta}\times\frac{\partial g}{\partial \phi}\right \| \, d\theta\, d\phi.\] Dado que \[\frac{\partial g}{\partial \theta}=\left(-\sen\theta \sen\phi, \cos \theta \sen\phi, 0\right) \] \[\frac{\partial g}{\partial \phi}=\left(\cos \theta \cos\phi, \sen\theta \cos \phi,-\sen \phi \right),\] tem-se \begin{align*}\frac{\partial g}{\partial \theta}\times\frac{\partial g}{\partial \phi} &= \det \begin{bmatrix}\boldsymbol{e}_1&\boldsymbol{e}_2&\boldsymbol{e}_ 3 \\   -\sen\theta \sen\phi&\cos \theta \sen\phi&0\\\ \cos \theta \cos\phi&\sen\theta \cos \phi& -\sen \phi \end{bmatrix} \\ & = \left(- \cos \theta \sen^2\phi, -\sen\theta \sen^2\phi, - \cos \phi \sen\phi\right), \end{align*} e, consequentemente, \[\left\|\frac{\partial g}{\partial \theta}\times\frac{\partial g}{\partial \phi}\right \| = \sen\phi.\] Assim, \[M=\iint_D \left\|\frac{\partial g}{\partial \theta}\times\frac{\partial g}{\partial \phi}\right \| \, d\theta\, d\phi=\int_0^\frac{\pi}{2}\left(\int_0^\frac{\pi}{2} \sen\phi\,d\phi \right) d\theta=\frac{\pi}{2}. \] Designando agora o centro de massa da superfície por $ \left (\overline{x} , \overline{y} , \overline{z} \right )$, \begin{align*}\overline{x}&= \frac{1}{M} \iint_S  x\, dS=\frac{2}{\pi}\iint_D  \cos \theta\sen \phi  \left\|\frac{\partial g}{\partial \theta}\times\frac{\partial g}{\partial \phi}\right \| \, d\theta\, d\phi \\ &=\frac{2}{\pi}\int_0^\frac{\pi}{2}\left(\int_0^\frac{\pi}{2}\cos \theta \sen^2 \phi\,d\phi \right) d\theta =\frac{1}{2}.\end{align*} Atendendo à simetria da superfície sob permutações das variáveis $x$, $y$ e $z$, podemos concluir imediatamente que o centro de massa é $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$.

7. Calcule o fluxo do campo $F:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ definido por $F(x,y,z)=(x, -2x+y, z)$ através da superfície $\left\{(x, y, z)\in\mathbb{R}^3 : x+2y+z=1, x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0\right\}$ com sentido da normal unitária com terceira componente positiva.
8. Calcule o fluxo do campo $G :\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ definido por $G(x, y, z) = (yz, xz, xy)$ através da superfície definida por $\left\{(x, y, z)\in\mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1, z\gt 0\right\}$ com sentido da normal unitária com terceira componente positiva.
   Solução

   Designando por $A$ a superfície dada, pretendemos calcular \[\iint_A  G\cdot \boldsymbol{n}\, dS, \] com a normal unitária $\boldsymbol{n}=(n_1,n_2,n_3)$ tal que $n_3\gt 0$ que facilmente se reconhece ser $\boldsymbol{n}=(x,y,z)$ (faça-o a partir da representação implícita para a superfície!). Então \[\iint_A  G\cdot \boldsymbol{n}\, dS = \iint_A 3xyz\, dS.\] Usando a parametrização já usada na resolução de um exercício anterior, obtemos \begin{align*}\iint_A  G\cdot \boldsymbol{n}\, dS &= \int_0^{2\pi}\left(\int_0^{\pi/2} 3 \cos\theta \sen \theta \sen^3\phi \cos\phi\, d\phi\right)d\theta \\ &=3\int_0^{2\pi} \cos\theta \sen \theta\, d\theta \int_0^{\pi/2}\sen^3\phi \cos\phi\,d\phi = 0 .\end{align*}

   Veja também a solução baseada no teorema da divergência.