Conteúdo

Cálculo Diferencial e Integral II

Solução do 2º Teste, versão A, 2014/15, 2º semestre

Enunciado

  1. Justifique que a equação define implicitamente como uma função numa vizinhança de e calcule .
  2. Calcule o volume de .
  3. Seja e uma função contínua. Aplique a mudança de variável para transformar o integral num integral de uma função adequada num intervalo de .
  4. Calcule o integral de linha em que é descrita por um caminho unindo a origem a um ponto verificando .
  5. Sejam e
    .
    1. Justifique que é uma variedade bidimensional.
    2. Determine o espaço tangente e o espaço normal a no ponto .
  6. Calcule em que é a respectiva normal unitária exterior e .

Soluções

  1. Seja definida por . Esta função é de classe , e a matriz jacobiana de é Em particular, e , pelo que o teorema da função implícita permite afirmar que a equação define como uma função de e , , para num vizinhança de .

    Como nessa vizinhança obtemos por diferenciação da igualdade anterior em ordem a donde e, substituindo os valores das derivadas parciais de já conhecidos,

  2. A descrição da região só depende de e de , o que permite identificá-la como sendo obtida por rotação em torno do eixo dos s. Assim, introduzimos e reescrevemos as condições definindo a região como sendo que se devem verificar simultaneamente.

    Esboçando no semi-plano estas condições, obtemos

    Determinando a região por rotação em torno do eixo dos s: esboço no semiplano em que .
    Embora não seja estritamente necessário fazer este esboço ou equivalente para resolver a questão, tal é fortemente recomendado.

    o que corresponde após rotação em torno do eixo dos s a

    Animação produzida com Sage via Jmol do conjunto definido em por , .

    Assim o volume da região será, usando coordenadas cilíndricas,

  3. Consideremos a mudança de variável . Tem-se e e, portanto, Então, com ,

  4. Tomemos . é uma função definida em , de classe .

    Alternativa 1
    Seja definida por . Temos e . Assim, o campo vectorial é conservativo. Portanto

    Alternativa 2
    Como podemos afirmar que é um campo fechado em que é um conjunto em estrela. Logo é conservativo e o respectivo integral de linha é independente do caminho. Podemos considerar como caminho unindo a um segmento de recta parametrizado por , . Então e

  5.  
    1. Alternativa A
      Seja dada por ; tem-se e Quanto à matriz jacobiana de , terá característica sse uma das suas entradas for não nula. Ora, se , tem-se ou . Se forem ambos não nulos, sse , mas . Suponhamos, então que   (logo ); ter-se-á e sse , logo  , o que é absurdo. De modo análogo, também conduz a um absurdo. Concluímos assim que a matriz jacobiana de tem característica igual a em todo o .

      é pois uma variedade de dimensão .

      Alternativa B
      é formado por zeros das funções e . é formado pelos zeros simultâneos de e . é formado pelos pontos de que não estão em , ou seja, que não são zeros simultâneos de e .

      Em termos geométricos elementares é formado pela união dos cilindros de equações e , é formado pela intersecção daqueles cilindros.

      Para cada ponto de existe um aberto que o contém tal que em uma das funções ou é não nula e a outra é identicamente nula (tal decorre da continuidade destas funções). Suponhamos concretamente que é aí e . Então, em , coincide com os zeros de . Bastará enão provar que define uma variedade . Tal segue de ser e e uma das entradas desta matriz ter de ser não nula devido à condição . O caso em que e em é análogo.

    2. Com a notação da alínea anterior, (Alternativa A) ou (Alternativa B) é vector normal à variedade no ponto ; o respectivo espaço normal é , isto é, a recta .

      Se é vector tangente a no ponto , tem-se e o espaço tangente é o espaço vectorial gerado por e , isto é, .

      Os conjuntos M e L
      Os conjuntos (a união dos dois cilindros) e (a união das duas elipses a negro).
      A imagem é apresentada a título ilustrativo. Não era necessário esboçar os conjuntos para resolver a questão.
  6. Dado que o teorema da divergência permite obter


Última edição desta versão: João Palhoto Matos, 24/03/2016 21:49:02.