Solução do 2º Teste, versão A, 2014/15, 2º semestre
Enunciado
- Justifique que a equação define implicitamente como uma função numa vizinhança de e calcule .
- Calcule o volume de .
- Seja e uma função contínua. Aplique a mudança de variável para transformar o integral num integral de uma função adequada num intervalo de .
- Calcule o integral de linha em que é descrita por um caminho unindo a origem a um ponto verificando .
- Sejam e
.- Justifique que é uma variedade bidimensional.
- Determine o espaço tangente e o espaço normal a no ponto .
- Calcule em que é a respectiva normal unitária exterior e .
Soluções
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Seja definida por . Esta função é de classe , e a matriz jacobiana de é Em particular, e , pelo que o teorema da função implícita permite afirmar que a equação define como uma função de e , , para num vizinhança de .
Como nessa vizinhança obtemos por diferenciação da igualdade anterior em ordem a donde e, substituindo os valores das derivadas parciais de já conhecidos,
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A descrição da região só depende de e de , o que permite identificá-la como sendo obtida por rotação em torno do eixo dos s. Assim, introduzimos e reescrevemos as condições definindo a região como sendo que se devem verificar simultaneamente.
Esboçando no semi-plano estas condições, obtemos
Determinando a região por rotação em torno do eixo dos s: esboço no semiplano em que .
Embora não seja estritamente necessário fazer este esboço ou equivalente para resolver a questão, tal é fortemente recomendado.o que corresponde após rotação em torno do eixo dos
s aAnimação produzida com Sage via Jmol do conjunto definido em por , .Assim o volume da região
será, usando coordenadas cilíndricas, -
Consideremos a mudança de variável
. Tem-se e e, portanto, Então, com , -
Tomemos
. é uma função definida em , de classe .Alternativa 1
Seja definida por . Temos e . Assim, o campo vectorial é conservativo. PortantoAlternativa 2
Como podemos afirmar que é um campo fechado em que é um conjunto em estrela. Logo é conservativo e o respectivo integral de linha é independente do caminho. Podemos considerar como caminho unindo a um segmento de recta parametrizado por , . Então e -
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Alternativa A
Seja dada por ; tem-se e Quanto à matriz jacobiana de , terá característica sse uma das suas entradas for não nula. Ora, se , tem-se ou . Se forem ambos não nulos, sse , mas . Suponhamos, então que (logo ); ter-se-á e sse , logo , o que é absurdo. De modo análogo, também conduz a um absurdo. Concluímos assim que a matriz jacobiana de tem característica igual a em todo o . é pois uma variedade de dimensão .Alternativa B
é formado por zeros das funções e . é formado pelos zeros simultâneos de e . é formado pelos pontos de que não estão em , ou seja, que não são zeros simultâneos de e .Em termos geométricos elementares
é formado pela união dos cilindros de equações e , é formado pela intersecção daqueles cilindros.Para cada ponto de
existe um aberto que o contém tal que em uma das funções ou é não nula e a outra é identicamente nula (tal decorre da continuidade destas funções). Suponhamos concretamente que é aí e . Então, em , coincide com os zeros de . Bastará enão provar que define uma variedade . Tal segue de ser e e uma das entradas desta matriz ter de ser não nula devido à condição . O caso em que e em é análogo. -
Com a notação da alínea anterior,
(Alternativa A) ou (Alternativa B) é vector normal à variedade no ponto ; o respectivo espaço normal é , isto é, a recta .Se
é vector tangente a no ponto , tem-se e o espaço tangente é o espaço vectorial gerado por e , isto é, .Os conjuntos (a união dos dois cilindros) e (a união das duas elipses a negro).
A imagem é apresentada a título ilustrativo. Não era necessário esboçar os conjuntos para resolver a questão.
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Dado que
o teorema da divergência permite obter
Última edição desta versão: João Palhoto Matos, 24/03/2016 21:49:02.