Solução do 2º Teste, versão A, 2014/15, 2º semestre

Enunciado

1. Justifique que a equação define implicitamente como uma função numa vizinhança de e calcule .
2. Calcule o volume de .
3. Seja e uma função contínua. Aplique a mudança de variável para transformar o integral num integral de uma função adequada num intervalo de .
4. Calcule o integral de linha em que é descrita por um caminho unindo a origem a um ponto verificando .
5. Sejam e
   .
   1. Justifique que é uma variedade bidimensional.
   2. Determine o espaço tangente e o espaço normal a no ponto .
6. Calcule em que é a respectiva normal unitária exterior e .

Soluções

1. Seja definida por . Esta função é de classe , e a matriz jacobiana de é Em particular, e , pelo que o teorema da função implícita permite afirmar que a equação define como uma função de e , , para num vizinhança de .

   Como nessa vizinhança obtemos por diferenciação da igualdade anterior em ordem a donde e, substituindo os valores das derivadas parciais de já conhecidos,

2. A descrição da região só depende de e de , o que permite identificá-la como sendo obtida por rotação em torno do eixo dos s. Assim, introduzimos e reescrevemos as condições definindo a região como sendo que se devem verificar simultaneamente.

   Esboçando no semi-plano estas condições, obtemos

   

   o que corresponde após rotação em torno do eixo dos s a

   

   Assim o volume da região será, usando coordenadas cilíndricas,

3. Consideremos a mudança de variável . Tem-se e e, portanto, Então, com ,

4. Tomemos . é uma função definida em , de classe .

   Alternativa 1
   Seja definida por . Temos e . Assim, o campo vectorial é conservativo. Portanto

   Alternativa 2
   Como podemos afirmar que é um campo fechado em que é um conjunto em estrela. Logo é conservativo e o respectivo integral de linha é independente do caminho. Podemos considerar como caminho unindo a um segmento de recta parametrizado por , . Então e

5.  

   1. Alternativa A
      Seja dada por ; tem-se e Quanto à matriz jacobiana de , terá característica sse uma das suas entradas for não nula. Ora, se , tem-se ou . Se forem ambos não nulos, sse , mas . Suponhamos, então que   (logo ); ter-se-á e sse , logo  , o que é absurdo. De modo análogo, também conduz a um absurdo. Concluímos assim que a matriz jacobiana de tem característica igual a em todo o .

      é pois uma variedade de dimensão .

      Alternativa B
      é formado por zeros das funções e . é formado pelos zeros simultâneos de e . é formado pelos pontos de que não estão em , ou seja, que não são zeros simultâneos de e .

      Em termos geométricos elementares é formado pela união dos cilindros de equações e , é formado pela intersecção daqueles cilindros.

      Para cada ponto de existe um aberto que o contém tal que em uma das funções ou é não nula e a outra é identicamente nula (tal decorre da continuidade destas funções). Suponhamos concretamente que é aí e . Então, em , coincide com os zeros de . Bastará enão provar que define uma variedade . Tal segue de ser e e uma das entradas desta matriz ter de ser não nula devido à condição . O caso em que e em é análogo.

   2. Com a notação da alínea anterior, (Alternativa A) ou (Alternativa B) é vector normal à variedade no ponto ; o respectivo espaço normal é , isto é, a recta .

      Se é vector tangente a no ponto , tem-se e o espaço tangente é o espaço vectorial gerado por e , isto é, .

      

6. Dado que o teorema da divergência permite obter