Repetição de testes e exame, 2/7/2018, versão A

Esta é uma solução parcial desta prova destinada a produzir soluções a incorporar posteriormente em fichas. Esta solução está a ser elaborada após o encerramento de actividades do semestre respectivo.

Perguntas com cor de fundo amarelo são adições ao enunciado.

Solução parcial

1º Teste

1.  
   1. Mude a ordem de integração para calcular \[\int_0^1\left(\int_{\sqrt[3]{y}}^1 \cos(\pi x^4)\, dx \right)\, dy .\]
   2. Determine o volume de $V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: 0\leq z \leq (x-1)^2, 0\leq y\leq 1-(x-1)^2, x\leq 1\}$.
2. Considere a função $g:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ definida por \[g(x,y,z)=\begin{cases}    \frac{x^3z}{x^2+y^2+z^2},&  \text{ se $(x,y,z)\neq (0,0,0)$,}\\ 0,& \text{ se $(x,y,z)=(0,0,0)$.} \end{cases}\] Decida se $g$ é diferenciável em $(0,0,0)$.
3. Seja $G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ uma função de classe $C^2(\mathbb{R}^2)$ e considere uma função $F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definida por $F(x,y)=G(x-y^2, x^2-y)$.
   1. Exprima $\nabla F$ em termos de $\nabla G$.
   2. Exprima $\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(1,1)$ em termos de derivadas parciais adequadas de $G$.
   3. Mostre que se $(0,0)$ é um ponto de mínimo relativo de $G$ então $\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(1,1)\geq 0$.
      Sugestão

      Interprete a expressão obtida na alínea anterior como um valor da forma quadrática definida pela matriz hessiana de $F$.

4. Considere a função definida por $f(x,y)=xy - x^2y+\frac{1}{y}$.
   1. Decida se $f$ possui extremos locais e, na afirmativa, localize-os.
   2. Decida se a restrição de $f$ ao conjunto $B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:xy \leq 1, x\geq \frac{1}{2}, y\geq \frac{1}{2}\}$ possui ou não pontos de extremo absoluto e, na afirmativa, localize-os.
5. Considere o sistema de equações  \[\begin{cases}x^2+y^4=e^{xyz}, \\ x^2+z^2=4\cos(xyz).\end{cases}\]

   1. Mostre que o sistema define $(y,z)$ como uma função $C^1$ de $x$, $(y,z)=\alpha(x)$, para $(x,y,z)$ numa vizinhança suficientemente pequena de $(1,0,\sqrt{3})$.

   2. Calcule $\alpha'(1)$.
   3. Determine a equação da recta tangente ao gráfico de $\alpha$ no ponto $(x,y,z)=(1,0,\sqrt{3})$.
6. Justifique que o contradomínio da função $h:\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: |x|+ e^{y^2} \leq 4 \}\to\mathbb{R}$, definida por $h(x,y)=|y+x|e^{x\sqrt{y^2+1}}$, é um intervalo $[0,c]$ com $c\gt 0$.
   Sugestão

   Prove que o domínio da função é um conjunto limitado, fechado e conexo e use resultados sobre continuidade.

    

2º Teste

7. Considere a superfície \[S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: y=x^2+z^2, 1\leq y\leq 4\}.\] Calcule a área de $S$.
8. Calcule o volume da região de $\mathbb{R}^3$ definida por \[U=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: 1-\sqrt{x^2+y^2}\geq z\geq x^2+ y^2 \geq \frac{1}{4}, y\geq x\right\}.\]
   Solução

   Introduzindo $r=\sqrt{x^2+y^2}$ observamos que a região $U$ corresponde à porção no semiespaço definido por $y\geq x$ do sólido de revolução em torno do eixo dos $z$s definido por $1-r\geq z\geq r^2\geq 1/4$. Esboçando esta região do semiplano $rz$ obtêm-se os limites de integração em $r$ e em $z$ a usar quando se consideram coordenadas cilíndricas definidas por \[x=r\cos \theta,\\ y=r\sen \theta, \\ z=z\] com $r\geq 0$, $z\in\mathbb{R}$ e $\theta \in [0,2\pi]$. Note-se que a solução positiva de $1-r=r^2$ é $r=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,618$, o semiespaço $y\geq x$ corresponderá a $\theta\in [\pi/4, 5\pi/4]$, e que o jacobiano da transformação é $r$.

   

   Obtém-se então que o volume é dado por \begin{align*}\int_{\pi/4}^{5\pi/4} \left(\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\left(\int_{r^2}^{1-r}r\, dz\right)\,dr\right)\, d\theta & =\pi \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} r(1-r-r^2)\, dr \\ & = \pi \left(p\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)-p\left(\frac{1}{2}\right)\right)\end{align*} em que $p(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4$.

9. Seja $M=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: (x-y)^2+z^2=5\right\}$.
   1. Justifique que $M$ é uma variedade diferenciável e determine a sua dimensão.
   2. Determine $N_M(1,0,2)$ e $T_M(1,0,2)$, respectivamente o espaço normal e o espaço tangente a $M$ no ponto $(1,0,2)$.
10. Calcule o integral de linha \[\int_L \frac{y}{1+x^2y^2}\, dx + \frac{x}{1+x^2y^2} \, dy\] em que $L$ é uma linha de classe $C^1$ unindo a origem a um ponto da hipérbole $xy=1$.
11. Seja $H:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ definido por \[H(x,y,z)=(x+\sen(yz), y+ \cos(xz), z^3+\arctg(xy)).\] Calcule \[\iint_{\partial B_1(0,0,0)}H\cdot \nu\, dS,\] em que $\nu$ é a normal unitária exterior a $B_1(0,0,0)$.
12. Seja $F:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ definida por $F(x,y,z)=(-y,x,z^2-1)$ e considere a superfície \[S=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: z=4-x^2-y^2, 0\lt z\lt 1\right\}.\] Calcule \[\iint_S \rot F\cdot \nu \, dS\] em que $\nu$ designa a normal unitária contínua a $S$ tal que $\nu\cdot(1,0,0)\gt 0$ nos pontos de $S$ com $x\gt 0$.