Repetição de testes e exame, 2/7/2018, versão A
Esta é uma solução parcial desta prova destinada a produzir soluções a incorporar posteriormente em fichas. Esta solução está a ser elaborada após o encerramento de actividades do semestre respectivo.
Perguntas com cor de fundo amarelo são adições ao enunciado.
Solução parcial
1º Teste
-
- Mude a ordem de integração para calcular
- Determine o volume de
.
- Mude a ordem de integração para calcular
- Considere a função
definida por Decida se é diferenciável em . - Seja
uma função de classe e considere uma função definida por .- Exprima
em termos de . - Exprima
em termos de derivadas parciais adequadas de . - Mostre que se
é um ponto de mínimo relativo de então .Sugestão
Interprete a expressão obtida na alínea anterior como um valor da forma quadrática definida pela matriz hessiana de
.
- Exprima
- Considere a função definida por
.- Decida se
possui extremos locais e, na afirmativa, localize-os. - Decida se a restrição de
ao conjunto possui ou não pontos de extremo absoluto e, na afirmativa, localize-os.
- Decida se
- Considere o sistema de equações
-
Mostre que o sistema define
como uma função de , , para numa vizinhança suficientemente pequena de . - Calcule
. - Determine a equação da recta tangente ao gráfico de
no ponto .
-
- Justifique que o contradomínio da função
, definida por , é um intervalo com .Sugestão
Prove que o domínio da função é um conjunto limitado, fechado e conexo e use resultados sobre continuidade.
2º Teste
- Considere a superfície
Calcule a área de . - Calcule o volume da região de
definida porSolução
A região . Em tons azul claro as superfícies definidas por e .Introduzindo
observamos que a região corresponde à porção no semiespaço definido por do sólido de revolução em torno do eixo dos s definido por . Esboçando esta região do semiplano obtêm-se os limites de integração em e em a usar quando se consideram coordenadas cilíndricas definidas por com , e . Note-se que a solução positiva de é , o semiespaço corresponderá a , e que o jacobiano da transformação é .A região definida por no semiplano .Obtém-se então que o volume é dado por
em que . - Seja
.- Justifique que
é uma variedade diferenciável e determine a sua dimensão. - Determine
e , respectivamente o espaço normal e o espaço tangente a no ponto .
- Justifique que
- Calcule o integral de linha
em que é uma linha de classe unindo a origem a um ponto da hipérbole . - Seja
definido por Calcule em que é a normal unitária exterior a . - Seja
definida por e considere a superfície Calcule em que designa a normal unitária contínua a tal que nos pontos de com .
Última edição desta versão: João Palhoto Matos, 05/06/2020 12:01:44.