Repetição de testes e exame, 2/7/2018, versão A

Esta é uma solução parcial desta prova destinada a produzir soluções a incorporar posteriormente em fichas. Esta solução está a ser elaborada após o encerramento de actividades do semestre respectivo.

Perguntas com cor de fundo amarelo são adições ao enunciado.

Solução parcial

1º Teste

1.  
   1. Mude a ordem de integração para calcular
   2. Determine o volume de .
2. Considere a função definida por Decida se é diferenciável em .
3. Seja uma função de classe e considere uma função definida por .
   1. Exprima em termos de .
   2. Exprima em termos de derivadas parciais adequadas de .
   3. Mostre que se é um ponto de mínimo relativo de então .
      Sugestão

      Interprete a expressão obtida na alínea anterior como um valor da forma quadrática definida pela matriz hessiana de .

4. Considere a função definida por .
   1. Decida se possui extremos locais e, na afirmativa, localize-os.
   2. Decida se a restrição de ao conjunto possui ou não pontos de extremo absoluto e, na afirmativa, localize-os.
5. Considere o sistema de equações 

   1. Mostre que o sistema define como uma função de , , para numa vizinhança suficientemente pequena de .

   2. Calcule .
   3. Determine a equação da recta tangente ao gráfico de no ponto .
6. Justifique que o contradomínio da função , definida por , é um intervalo com .
   Sugestão

   Prove que o domínio da função é um conjunto limitado, fechado e conexo e use resultados sobre continuidade.

    

2º Teste

7. Considere a superfície Calcule a área de .
8. Calcule o volume da região de definida por
   Solução

   Introduzindo observamos que a região corresponde à porção no semiespaço definido por do sólido de revolução em torno do eixo dos s definido por . Esboçando esta região do semiplano obtêm-se os limites de integração em e em a usar quando se consideram coordenadas cilíndricas definidas por com , e . Note-se que a solução positiva de é , o semiespaço corresponderá a , e que o jacobiano da transformação é .

   

   Obtém-se então que o volume é dado por em que .

9. Seja .
   1. Justifique que é uma variedade diferenciável e determine a sua dimensão.
   2. Determine e , respectivamente o espaço normal e o espaço tangente a no ponto .
10. Calcule o integral de linha em que é uma linha de classe unindo a origem a um ponto da hipérbole .
11. Seja definido por Calcule em que é a normal unitária exterior a .
12. Seja definida por e considere a superfície Calcule em que designa a normal unitária contínua a tal que nos pontos de com .